中南大学线性代数 1.1 矩阵及其运算

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第一章

第一节 矩阵及其运算一、矩阵的定义

二、矩阵的运算三、矩阵的分块 四、分块矩阵的运算规则

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一、矩阵的定义由 m n 个数 aij i 1,2, , m; j 1,2, , n 排成的 m行 n 列的数表 a11 a12 a1 n a 21 a 22 a 2 n A a a a m1 m1 mn 称为 m行n列 矩阵.简称 m n 矩阵.A Am n aij m n aij .

简记为

这m n个数称为A的元素, 简称为元.

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元素都是实数的矩阵称为实矩阵 元素都是复数的矩阵称为复矩阵1 0 3 5 例如 是一个 2 4 实矩阵, 9 6 4 3

2 3 5 9 是一个 1 4 矩阵, 4 是一个 1 1 矩阵.

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几种特殊矩阵 (1)行数与列数都等于 n 的矩阵 A ,称为 n 阶 a11 a12 a1n 方阵.也可记作 An . a21 An a n1 a22 a2 n an 2 ann

13 6 2i 次(副)对角线 例如 2 2 2 是一个3 阶方阵. 2 2 2 主对角线 特殊地，主对角线以下全为0的方阵称为上三角形矩阵 主对角线以上全为0的方阵称为下三角形矩阵

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(2)只有一行的矩阵 A a1 , a2 , , an , 称为行矩阵(或行向量). a1 a 只有一列的矩阵 B 2 , 称为列矩阵(或列向量). a n 不全为0 1 0 0 O 0 2 0 的方阵,称为对角 形如 ( 3) 矩阵(或对角阵). O 0 0 n 记作 A diag 1 , 2 , , n .

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(4)方阵

1 0 0 1 E En O 0 0

0 O 0 1

全为1

称为单位矩阵(或单位阵).

m n 零 (5)元素全为零的矩阵称为零矩阵， 矩阵记作 om n 或 o .注意

不同阶数的零矩阵是不相等的.

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同型矩阵与矩阵相等的概念

1.两个矩阵的行数相同,列数相同时,称为同型 矩阵. 1 2 14 3 例如 5 6 与 8 4 为同型矩阵. 3 7 3 9 2.两个矩阵 A aij 与B bij 为同型矩阵,并且 对应元素相等,即aij bij i 1,2, , m; j 1,2, , n ,

则称矩阵 A与B相等,记作 A B.

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例

设 1 2 3 A , 3 1 2 1 B y x 3 , 1 z

已知 A B, 求 x , y , z .

解

A B,

x 2, y 3, z 2.

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二、 矩阵的运算

矩 阵 运 算

加法数与矩阵相乘 矩阵与矩阵相乘 转置矩阵 对称阵与反对称阵 共轭矩阵

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(一)矩阵的加法1、定义设有两个 m n 矩阵 A a ij , B bij , 那么矩阵 A 与 B 的和记作 A B,定义为

a11 b11 a 21 b21 A

B a b m1 m1即对应元素相加.

a12 b12 a 22 b22 a m 2 bm 2

a1 n b1 n a 2 n b2 n a mn bmn

说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加 法运算.

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