线性代数试卷 浙江理工大学5
时间：2026-01-26
2003～2004学年秋季学期线性代数B试卷
一、填空题（每小题2分，共10分）
1、设A为n阶(n为奇数)方阵, 且满足AT=-A 则。
2、设A,B均为三阶矩阵,且|A|=2,|B|=1/2,则
*
|(AB)|= 。
3. 向量组 1=(1,0,0)T, 2=(0,1,0)T, 3=(0,0,1)T, 4=(1,1,0)T的极大线性无关组为. 。
4. 设x1, x2, x3是方程组AX=b的解, 若k1x1+k2x2+k3x3则也是AX=b的解,则k1, k2, k3应满足条件 .
T
5. 设A为mxn阶矩阵, 且B=AA必为 .矩阵.
三．是非题: (每题2分,共10分)
1. AX=0有零解时,AX=b必有唯一解. ( ) 2. 任意n+1个n维向量组必线性相关.( ).
3. n阶方阵A为正定的充分必要条件是A的特征值全大于零( ) 4. 设A,B均为n阶正交矩阵,则AB,A+B也是正交矩阵 5. 已知方阵A满足A2-2A+E=0, 则A可逆.( )
三．选择题: (每题2分,共10分)
1. 设A和B都是n阶非零方阵,且AB=0,则A的秩必( ). A.等于n B.大于n C.小于n D.不能确定
2. 向量组中有一个零向量,这是该向量组线性相关的( )条件
A.充要 B.充分 C.必要 D.非充要
T
3. 设A为三阶矩阵,且E-A,2E-A,3E-A都不可逆,则A的特征值为 ( )
A.1, 2,4
B.2,3,4
C.1, 2, 3
D.-1, 3, 2
4. 设A为n阶方阵, R(A)=r<n, 则在A的n 个行向量中(
A. 必有r个行向量线性无关; B. 任意r个行向量都线性无关;
C. 任意r个行向量都构成极大线性无关组;
D. 任意一个行向量都可以由其他 个行向量线性表出; kx1 (k 2)x2 0
5. 当k=( )时,方程组 只有零解.
2x (k 2)x 012
)
A.k≠-1 B. k≠2 C. k≠-2 D. k≠1
四、计算题: （20分）
1
112
10299值 201
（4分）1．求行列式D=1
1
1
（8分）2．已知A= 0
0
110
0
0 , 且A2-AB=E (E是三阶单位阵),2
求矩阵B.
（8分）3. 求向量组 1=(1,2,4)T, 2=(2,-3,1)T, 3=(-1,1,-1)T, 4=(1,0,2)T 的秩,及写出一个极大线性无关组.
五.(15分)试问a,b为何值时,下面线性方程组有解?无解?有无穷多解? 并求出有无穷多解时线性方程组的通解.
x1 x2 x3 0
x2 2x3 1
x (a 3)x b
23
六、(15分)试求一个正交变换P, 把下列二次型化为标准形 f (x1, x2 ,x3)= 2x1 2 +3x2 2+3x3 2+4 x2x3
七、简答题(10分)
1.设叙述:求矩阵A的逆阵的三种方法:以及其中哪一种方法最简便?
2.试写出:行列式的五条性质.
八、证明题(16分)
(1) 设 1， 2， 3线性无关, 令
= 1+ 2+2 3, =2 1+ 2+ 3, = 1+2 2+ 3, 试证明 1， 2， 3也线性无关.
2
(2) 设A是正交阵,若A=E, 试证明A是对称阵.
参考答案： 一.(2) 0; 二.(2) F 三.(2) C 四.(20)
1
112
1; T B 100
T F C A 1
112
T B 2 1 9 1
m阶对称
1.(4)1
1
100 1200
1
2.(8)A(A-B)=E A-B=A-1
1-1
A= 0
0
110
0 0 1 2
B=A-A-1
1 B= 0 0
110
0 1 0 0
2 0
110
0 0 0 0
1 02
200
0 0 2 3
3.(8) 1 2 4
2 31
11 1
1 1 0 0
02
2 7 7
133
1 1
2 0
0 2
2 70
130
1
2 0
秩为2, 极大无关组为
五.(15) 1 0 0
11 1
12a 3
0 1 1 0
0b
110
12a 1
0
1 b 1
当a≠1,有唯一解; 当a=1,b≠-1,无解; 当a=1,b=-1,无穷多解
(R(A)=R(B)=2<M=3) 1 0 0
110
120
0 1 1 0
00
010
120
1 1 1
1 x k 2 1
1 0 0
六.(15) 2
A= 0 0
032
0 2 3
2 03 2
023
|A- E|=00
=
0 0 0
012
0
2 x 0,1
1
1 0 ,
0
1 1 0
0 0 1
2 1 2
0 1
2 1 2
=2,
=1,
1 0 0
022
0 0 2 x 0, 2 1 ,
1 2
2
=5,
3
0 0
0 22
0 0 2 x 0, 3 1 ,
1 2
2
1 P= 0 0
0 1212
01212
,
-1
作正交变换X=PY, 则f=2y1+y2+5y3
222
七.(10)1.(5)公式法:A=
A
*
A
; 定义法:AA-1=E;
初等变换法:(A|E)~(E|A); 初等变换法较为简便.
2.(5) 1)行列式与其转置行列式相等; 2)互换行列式两行(列),行列式变号; 3)行列式某行(列)各元素乘同一数K,等于用K乘此行列式; 4)行列式中两行(列)成比例,则此行列式等于0; 5)行列式某行(列)各元素乘同一数加到另一行(列),行列式不变. 八.(10) 1.(5) 证:设对一组实数k1,k2,k3, 有k1 1+k2 2+k3 3=0 即k1( 1+ 2+2 3)+k2(2 1+ 2+ 3)+k3( 1+2 2+ 3)=0
(k1 +2k2+k3) 1+(k1 +k2+2k3) 2+(2k1 +k2+k3) 3=0
因 3线性无关,故 k1 2k2 k3 0
k1 k2 2k3 0 2k k k 0
23 1
112
211
1
2 4 0 1
唯有零解k1=k2=k3=0, 所以 3线性无关. T-1T
2.(5) 证:A是正交阵, AA=E, 即A=A A2=E, AA=E, 即A-1=A
所以 A=AT.
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