2000年全国高中数学联合竞赛试卷及参考答案

2000年全国高中数学联合竞赛试卷及参考答案

（10月15日上午8:00 9:40）

一、选择题（本题满分36分，每小题6分）

1．设全集是实数，若A={x|x 2≤0}，B={x|10x 2=10x},则A B是( )

(A){2} (B){ 1} (C){x|x≤2}

(D)

2．设sin ＞0,cos ＜0,且sin

(A)(2k +2 3＞cos 3,则 3的取值范围是( )

3．已知点A为双曲线x2 y2=1的左顶点，点B和点C在双曲线的右分支上，△ABC是等边三

角形，则△ABC的面积是( ) (A)33 (B) (C)33 322k 2k ,2k +), k Z (B)(+,+),k Z 3336635 5 (C)(2k +,2k + ),k Z (D)(2k +,2k +) (2k +,2k + ),k Z 4366

(D)63

4．给定正数p,q,a,b,c，其中p q，若p,a,q是等比数列，p,b,c,q是等差数列，则一元二次方程

bx2 2ax+c=0( )

(A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根 (D)有两个异号实根

545．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线y x 的距离中的最小值是( ) 35

(A)11 (B) (C) (D) 170852030

6．设 cos

43 255(A)x+x+x+x+1=0 (B) x4 x3+x2 x+1=0

(C) x4 x3 x2+x+1=0 (D) x4+x3+x2 x 1=0 isin ，则以 , 3, 7, 9为根的方程是( )

二、填空题（本题满分54分，每小题9分）

7．arcsin(sin2000 )=__________.

32333n

8．设an是(3 x)的展开式中x项的系数(n=2,3,4,…)，则lim( )=________. n aaa23n

9．等比数列a+log23,a+log43,a+log83的公比是____________.

x2y2

10． 在椭圆2 2 1(a＞b＞0)中，记左焦点为F，右顶点为A，短轴上方的端点为B.若该椭abn

1，则∠ABF=_________. 2

11． 一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的体积是________.

12． 如果：(1)a,b,c,d都属于{1,2,3,4};

(2)a b,b c,c d,d a;

(3)a是a,b,c,d中的最小值， 圆的离心率是

那么，可以组成的不同的四位数abcd的个数是_________.

三、解答题(本题满分60分，每小题20分)

Sn13． 设Sn=1+2+3+…+n,n N，求f(n)=的最大值. (n 32)Sn 1

11314． 若函数f(x) x2 在区间[a,b]上的最小值为2a，最大值为2b，求[a,b]. 22

x2y22215． 已知C0:x+y=1和C1:2 2 1(a＞b＞0)。试问：当且仅当a,b满足什么条件时，对C1ab

上任意一点P，均存在以P为项点,与C0外切,与C1内接的平行四边形？并证明你的结论。

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