微分中值定理及导数的应用-洛必达法则

高等数学课件——微分中值定理及导数的应用

第三章

第二节洛必达法则一、主要内容二、典型例题三、同步练习四、同步练习解答

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一、主要内容0 (一)型未定式的洛比达法则 0

定理 3.4(1) lim f ( x )= lim F ( x )= 0x→a

( 2) f ( x )与F ( x )在 U (a )内可导， F′( x )≠ 0且f′( x ) ( 3) lim存在 (或为∞ ) x→ a F′( x ) f ( x) f′( x )= lim lim x→ a F ( x ) x→ a F′( x )

x→a o

(洛必达法则)

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∞型未定式的洛比达法则 (二)∞

定理 3.5(1) lim f ( x )= lim F ( x )=∞x→a x→a o

且 (2) f ( x )与F ( x )在 U (a )内可导， F′( x )≠ 0 f′( x ) ( 3) lim存在 (或为∞ ) x→ a F′( x ) f ( x) f′( x )= lim lim′( x ) (洛必达法则) x→a F ( x ) x→a F

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注 1°洛必达法则适合于任一自变量极限过程，如：x→ a+, x→ a,

以及 x→∞, x→+∞或 x→∞的情形，

只要函数 f ( x ), F ( x )满足相应于定理3.4及3.5的条件即可.

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2在连续使用罗比达法则时，每次使用前都要检验极限是否为未定式，否则可能导致错误. 3应用洛比达法则时,是通过分子与分母分别求导数来确定未定式的极限，而不是求商的导数.

f ( x) f ( x) lim≠ lim[]′ x→a F ( x) x→a F ( x)

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f ( x) f′( x ) 4在 lim= lim中， f′( x ), F′( x ) x→a F ( x) x→ a F′( x )

是对极限变量 x求导的结果. 5应用洛必达法则时，应注意化简.f′( x )不存在,且≠∞时，洛必达法则 6当 lim x→ a F′( x )

失效.

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7注意洛比达法则与其它求极限方法的灵活交叉使用.e x e x例如， lim x x→+∞ e+ e x e x+ e x= lim x x x→+∞ e e∞∞用洛必达法则

不定

1 e 2 x e x e x=1= lim而 lim x 2 x x x→+∞ 1+ e x→+∞ e+ e (恒等变形)

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8对数列极限不能直接用洛必达法则.1 ln n如： lim= lim n= 0×n→∞ 1 n→∞ n数列极限与函数极限关系：{x n}: x n→ a ( n→∞ ), x n≠ a,有 lim f ( x n )= A.n→∞ x→a

lim f ( x )= A

正确解：

Q lim∴

∞ ln x∞

x→+∞

x

= lim

x→+∞

1 x=0 1

ln n lim= 0. n→∞ n

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(三)其他未定式的极限0∞洛必达法则是针对，型未定式的，对于其他 0∞

未定式，不能直接使用.其他类型的常见未定式有5种：

0∞,∞∞, 0 0, 1∞,∞

0

.

关键:将其它类型未定式转化为洛必达法则可以 0∞ .解决的类型：, 0∞

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解决方法:00, 1∞,∞ 0

∞∞1 g 1 f f g= 1 g 1 f

0 0∞∞

令y= f取对数

g

0∞f f g= 1g

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二、典型例题例1求下列极限：π arctan x x 2 . (1) lim; (2) lim 1 x→ 0 ln cos x x→+∞ x0 0

1 2 2 x 1+ x= 1.= lim解 (1)原式= lim 2 1 x→+∞ 1+ x x→+∞ 2 0 x 1 0 (2)原式= lim= lim cot x=∞ . x→ 0 sin x x→0 cos x

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x3 3 x+ 2 .例2求 lim 3 2 x→1 x x x+ 1 3x 3

解原式= lim x→1 3 x 2 2 x 12

0 0 0 0不是未定式不能用洛必达法则 !

6 6x lim= lim≠ x→1 6= 1 x→1 6 x 2

3= . 2

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xn例3求 lim ( n> 0) . x→+∞ ln xnx解原式= lim 1 x→+∞ xn 1

∞∞是否能再用洛必达法则？不能！

= lim n x nx→+∞

=+∞ .

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tan x x .例4求 lim 2 x→ 0 x tan x tan x x解原式= lim x→0 x30 0

0 ( ) 0

(tan x~ x, x→ 0)

sec x 1= lim 2 x→0 3x2

1 tan 2 x 1= lim= . 2 3 x→0 x 3

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例5

求 lim

x→0

1+ tan x 1+ x . 2 x sin x 1+ tan x 1+ x x3

解

原式= lim

等价无穷小量代换

x→0

(1+ tan x ) (1+ x )恒等变形= lim x→ 0 ( 1+ tan x+ 1+ x ) x 3 tan x x 1 )= lim ( 3 1+ tan x+ 1+ x x→0 x

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tan x x 1 )= lim ( 3 1+ tan x+ 1+ x x→0 x tan x x 1= lim 3 2 x→0 x1 sec2 x 1= lim 2 x→0 3 x 21 tan 2 x 1= .= lim 2 6 6 x→0 x

非零因子单独求极限

洛必达法则