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选修 4-1

几 何 证 明 选 讲

第 1 课时

相 似 三 角 形 的 判 定 及 有 关 性 质

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2014 考纲下载

理解相似三角形的定义与性质，了解平行截割定理，证明直 角三角形射影定理.

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请注意！

此部分多和圆的有关知识，结合考查.

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1.平行线等分线段定理 如果一组 平行线 在 一条 直线上截得的线段相等， 那么在其他 直线上截得的线段也相等. 推论 1:经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分 第三边. 推论 2: 经 过 梯 形 一 腰 的 中 点 ， 且 与 底 边 平 行 的 直 线 腰.

平分 另一

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2.平 行 线 分 线 段 成 比 例 定 理 三 条 平 行 线 截 两 条 直 线 ， 所 得 的

对应 线段成比例.

推论：平行于三角形一边的直线截其他两边 (或两边的延长 线)所得的对应线段成 比例 . 3.相似三角形的判定 判定定理 1:两角对应 相等，两三角形相似. 判定定理 2:两边对应 成比例 且夹角 相等 ，两三角形相似. 判定定理 3:三边对应 成比例 ，两三角形相似.

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4.直角三角形相似的判定 定理 1: 如 果 两 个 直 角 三 角 们相似. 定理 2: 如 果 两 个 直 角 三 角 形 的 两 条 那么它们相似. 定理 3: 如 果 一 个 直 角 三 角 形 的 斜 边 和 一 条 直 角 边 与 另 一 个 三角形的斜边 和 一 条 直角边 对 应 成 比 例 ， 那 么 这 两 个 直 角 三 角 形相似.直角 边 对 应 成比例 ，

形有一个锐角 对 应 相 等 ， 那 么 它

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5.相似三角形的性质定理 1 ( ) 相 似 三 角 形 对 应 高 的 比 、 对 应 中 线 的 比 和 对 应 角 平 分 线 的比都等于相似 比； 2 ( ) 相似三角形周长的比等于相似 比； 3 ( ) 相似三角形面积的比等于相似比的平方 ； 4 ( ) 相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似 比，外接 圆的面积比等于相似比的 平方 .

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6.直 角 三 角 形 的 射

影 定 理 和 逆 定 理 1 ( ) 定 理 ： 直 角 三 角 形 斜 边 上 的 高 是 两 直 角 边 在 斜 边 上 射 影 的 比 例 中项； 两 直 角 边 分 别 是 它 们 在 斜 边 上 中 项 . 2 ( ) 逆 定 理 ： 如 果 一 个 三 角 形 一 边 上 的 高 是 另 两 边 在 这 条 边 上 的 射 影 的

射影 与斜边 的 比 例

比例中项

, 那 么 这 个 三 角 形 是 直 角 三 角 形 .

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1. 如图，D、E 分别是△ABC 的边 AB、AC 上 的 点 ， AD BC, 且 =2, 那 么 △A D E 与四边形 D B C E DB 的 面 积 比 是

DE∥

________.

4 答案 5AD AD 2 解析 ∵ =2,∴ = . DB AB 3 S△D S△D 4 A E A E 故 =9,∴ S△B S四边形D C A B C E 4 =5.

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2. 如图，在△ABC 中，D 是 AC 的中点，E 是 BD 的中点， BF AE 交 BC 于 F,则 =________. FC

1 答案 2课前自助餐 授人以渔

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解析 过点 E 作 BC 的平行线交 AC 于点 M,

如右图，可知 M 为 DC 的中点， EM 1 EM 3 故 =2, =4. BC FC FC 2 BF 1 ∴ =3, =2. BC FC课前自助餐 授人以渔

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3.在 Rt△ABC 中，∠C=90° ,CD⊥AB 于 D, 已 知 AD=2,则 BD 的长是________.答案 6

AC=4,

解析 由直角三角形射影定理，得 AC2=AD· AB. AC2 42 ∴AB= = =8,∴BD=AB-AD=8-2=6. AD 2

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4. 如 图 ， 在

△ABC 中，∠AED=∠B,DE=6,AB=10,AE ) B.7

=8,则 BC 的长为( 15 A. 4 15 C. 2答案 C

24 D. 5

解析 由已知条件∠AED=∠B, ∠A 为 公 共 角 ， 所 以 6×10 15 DE AE ∽△A C B ,则有 = ,从而 BC= 8 = 2 . BC AB课前自助餐 授人以渔

△A D E

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5. 2 ( 0 1 4 ·

济南二模)如图，Rt△ABC 中，CD 为斜边 AB 上的

高，CD=6,且 AD∶BD=3∶2,则斜边 AB 上的中线 CE 的长 为________.

5 6 答案 2课前自助餐 授人以渔

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