线性代数

科技信息○高校讲台○ＳＣＩＥＮＣＥＩＮＦＯＲＭＡＴＩＯＮ２００７年第８期

求ｎ阶行列式的几种方法和技巧

陈林

（伊犁师范学院新疆伊宁

８３５０００）

摘要：通过对ｎ阶行列式的理论和计算方法进行归纳分析，总结出一些有用的计算ｎ阶行列式的方法和技巧。关键词：ｎ阶行列式；方法；技巧。

ＴｈｅＭｅｔｈｏｄｓａｎｄＳｋｉｌｌｓｏｆＳｏｌｖｉｎｇｎＯｒｄｅｒＤｅｔｅｒｍｉｎａｎｔ

ＣｈｅｎＬｉｎ

（ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，ＩｌｉｔｅａｃｈｅｒｓｃｏｌｌｅｇｅＹｉｎｉｎｇ８３５０００ＸｉｎｊｉａｎｇＣｈｉｎａ）

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎｔｈｅｐａｐｅｒ，ｗｅｃｏｍｅｄｏｗｎｔｏｔｈｅｔｈｅｏｒｙａｎｄｔｈｅｃａｌｃｕｌａｔｉｎｇｍｅｔｈｏｄｏｆｎｏｒｄｅｒｄｅｔｅｒｍｉｎａｎｔａｎｄｓｕｍｕｐｓｏｍｅｕｓｅｆｕｌｓｋｉｌｌｓｏｆｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ．

Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｎｏｒｄｅｒｄｅｔｅｒｍｉｎａｎｔ；Ｍｅｔｈｏｄ；Ｓｋｉｌｌ

求行列式的值是高等代数的基本运算。求ｎ阶行列式的一般方法有：定义法；按行列式某行或某列展开、降阶从而解得行列式的值；拉普拉斯展开法等。除了这些常规方法以外，还有许多技巧，这些技巧隐含在高等代数的相关理论中。对这些技巧进行探讨归纳，不仅有课程建设的现实意义，而且有深刻的理论意义，而且求解ｎ阶行列式也是工程类研究生数学考试的必考题型。本人对求ｎ阶行列式的一些特殊的技巧进行了归纳，并就其应用范围进行了分析。

当ｎ＝２时６１＝４ａ＋５ｂ，

解得ａ＝１６，ｂ＝２５．所以Ｄｎ＝５ｎ＋１－４ｎ＋１

３．行列式乘积法

ａ１１ａ２１

设行列Ｄ１＝

"ａｎ１

ａ１１ａ１２ａ２１ａ２２

Ｄ１Ｄ２＝

""ａｎ１ａｎ２

ａ１２ａ２２"ａｎ２""""

ｎｉ＝１ｎ

１．加边法

技巧分析：把原ｎ阶行列式增加一行、一列，变成ｎ＋１阶行列式，再通过性质化简算出结果。

例。计算ｎ阶行列式

""""ａ１ｎａ２ｎ"ａｎｎ

１ｉｉ２

ａ１ｎｂ１１ｂ１２ａ２ｎｂ２１ｂ２２

Ｄ２＝

"""ａｎｎｂｎ１ｂｎ２ｂ１１ｂ１２"ｂ１ｎｂ２１ｂ２２"ｂ２ｎ""""ｂｎ１ｂｎ２"ｂｎｎ

"""

""""ｂ１ｎｂ２ｎ"ｂｎｎ

１＋ａ１２Δｎ＝

"ｎ１００"０

１２＋ａ２"ｎ""""１２

，其中ａ１ａ２"ａｎ≠０"ｎ＋ａｎ

"ａｂ

ｉ＝１ｎ

ｎ

１ｉｉ１

"ａｂ"ａｂ

ｉ＝１ｎ

"ａｂ

ｉ＝１ｎ

ｎ

１ｉｉｎ

＝

"ａｂ

ｉ＝１ｎ

２ｉｉ１２ｉｉ２

"ａｂ

ｉ＝１ｎ

２ｉｉｎ

解：对原行列式加边得

１１１１１１１""

""１００１＋ａ１１－１ａ１

"２２＋ａ２"２＝－２０ａ２０

"""""""""ｎｎ－ｎ００ａｎ"ｎ＋ａｎ"

"１１１１＋１＋"ｎ

１ｎ

"０ａ１００

＝＝（１＋１＋２＋"＋ｎ）

"０００ａ２１１１

"""""

"０００ａｎ

２．递推法

技巧分析：若ｎ阶行列式Ｄ满足关系式ａＤｎ＋ｂＤｎ－１＋ｃＤｎ－２＝０则作特征方程：ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０①（１）若Δ≠０则方程①有两不等复根，则Ｄｎ＝Ａｘ１ｎ－１＋Ｂｘ２ｎ－１其中Ａ，Ｂ为待定系数可令ｎ＝１和ｎ＝２得出

（２）若Δ≠０，则方程①有重根ｘ１＝ｘ２，则Ｄｎ＝（Ａ＋ｎＢ）ｘ１ｎ－１其中Ａ，Ｂ为待定系数，可令ｎ＝１，２算出

例。计算ｎ阶行列式

９５００"０００４９５０"００００４９５"０００Ｄｎ＝

""""""""００００"４９５００００"０４９解：按第１行展开

Ｄｎ＝９Ｄｎ－１－２０Ｄｎ－２即：Ｄｎ－９Ｄｎ－１＋２０Ｄｎ－２＝０，作特征方程ｘ２－９ｘ＋２０＝０解得ｘ１＝４，ｘ２＝５则Ｄｎ＝ａ ４ｎ－１＋ｂ５ｎ－１当ｎ＝１时９＝ａ＋ｂ；

"ａｂ

ｉ＝１

ｎｉｉ１

"ａｂ

ｉ＝１

ｎｉｉ２

"ａｂ

ｉ＝１

ｎｉｉｎ

利用这一事实，我们可以把一个较难计算的行列式转化为两个行列式的乘积来计算。

４．降阶法

依据行列式展开定理，可以把所给行列式展开成若干个低一阶的行列式的和。如果能把行列式变形，使其某一行（列）的元素只有一个不为零，那么这个行列式就可以变形为一个低一阶的行列式来计算。

ｘ０

例。计算ｎ阶行列式Ｄ＝"

０ｙ解：依第一列展开得

ｙｘ"０００ｙ"００"００"００""""ｘｙ"０ｘ

ｘｙ０"００ｙ０"０００ｘｙ"００ｘｙ"００

＋（－１）ｎ＋１ｙＤ …… 此处隐藏：2408字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……