复变函数2-1解析函数

第二章解析函数§1解析函数的概念§2函数解析的充要条件§3初等函数

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§1解析函数的概念一、复变函数的导数与微分1.导数的定义 2.可导与连续的关系 3.求导法则 4.微分的概念

二、解析函数及其简单性质1、解析函数的定义 2、奇点的定义2

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一、复变函数的导数与微分1.导数的定义:

设函数 w f ( z )定义于区域 D, z0为D中的一点, z0 z D

f (z0 z) f (z0 )如果极限 lim存在且有限 z 0 z那末就称 f ( z )在z0可导 .这个极限值称为 f ( z )在 z0的导数,记作 f ( z0 ) dw f ( z0 z ) f ( z0 ) lim . dz z z 0 z 0 z即：z0 z z0首页上页返回下页结束3

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在定义中应注意:z0 z z0 (即 z 0)的方式是任意的 .

即z0 z在区域 D内以任意方式趋于 z0时, f ( z0 z ) f ( z0 )比值都趋于同一个数 . z如果函数 f ( z )在区域 D内处处可导,我们就称 f ( z )在区域内 D可导 .

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若记 z= x+iy,则习惯记

z0=x0+iy0Dz=Dx+iDy

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例1求f ( z ) z 2的导数 .解 z Cf ( z z ) f ( z ) lim z 0 z

( z z ) z lim z 0 z2 z 0

2

lim ( 2 z z ) 2 z .

f ( z ) z在z平面上处处可导 .2

¢ (z )= 2z26

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例2解

讨论 f ( z ) Im z的可导性 .

f ( z z ) f ( z ) Im( z z ) Im z f z z z Im z Im z Im z Im z z z

y Im( x i y ) , x i y x i y当点沿平行于实轴的方向( y 0)而使 z 0时,7

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y f ( z z ) f ( z ) f lim 0, lim lim x 0 x i y z 0 z z 0 z y 0当点沿平行于虚轴的方向( x 0)而使 z 0时,

1 y f ( z z ) f ( z ) f lim , lim lim y 0 x i y z 0 z z 0 i z x 0当点沿不同的方向使 z 0时,极限值不同,故f ( z ) Im z在复平面上处处不可导 .

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例2问f ( z ) x 2 yi是否可导？ 解 f f ( z z ) f ( z ) f ( z z ) f ( z ) lim lim lim z 0 z z 0 z z z z z

( x x) 2( y y )i x 2 yi lim z 0 z ( z z z )

y

x 2 yi lim z 0 x yi ( z z z )即： y 0

zo

y 0

x

设z z沿着平行于 x轴的直线趋

向于 z,9

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x 2 yi x lim 1, lim z 0 x yi x 0 x

设z z沿着平行于 y轴的直线趋向于 z,2 yi x 2 yi lim 2, lim y 0 yi z 0 x yi所以 f ( z ) x 2 yi的导数不存在 . x 0 y

zo

y 0

x

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3.求导法则: (1) ( c ) 0,其中c为复常数 . ( 2) ( z n ) nz n 1,其中n为正整数 . ( 3) f ( z ) g ( z ) f ( z ) g ( z ). (4) f ( z ) g ( z ) f ( z ) g ( z ) f ( z ) g ( z ). f ( z ) g ( z ) f ( z ) g ( z ) f ( z ) ( 5) . ( g ( z ) 0) 2 g (z) g( z ) (6) f[ g ( z )] f ( w ) g ( z ).其中 w g ( z ) 1,其中 w f ( z )与 z ( w )是 ( 7 ) f ( z ) ( w )两个互为反函数的单值函数,且 ( w ) 0 11首页上页返回下页结束铃

2.可导与连续的关系:函数 f (z)在 z0处可导则在 z0处一定连续,但函数 f(z)在 z0处连续不一定在 z0处可导.

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例题

f ( z ) z在z平面上处处连续但却处处不可导

解 (1) f(z)= z的连续性显然f ( z z ) f ( z ) (2) z x 1 x 0, y 0 z z z z z x i y x== z z i y 1 x 0, y 0 i y f 1( x 0, y 0) z

f 1( x 0, y 0) z

f ( z ) z在z平面上处处不可导13

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4.微分的概念:复变函数微分的概念在形式上与一元实变函数的微分概念完全一致.f ( z0 ) z称为函数 w f ( z )在点 z0的微分,记作

dw f ( z0 ) z .

如果函数在 z0的微分存在,则称函数 f ( z )在 z0可微 .

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特别地,

当 f ( z ) z时, dw dz f ( z0 ) z z,d w f ( z 0 ) z f ( z 0 ) d z,

所以有

dw即 f ( z 0 ) dz z z0函数 w f ( z )在 z0可导与在 z0可微是等价的.

如果函数 f ( z )在区域 D内处处可微,则称 f ( z )在区域 D内可微 .15

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二、解析函数及其简单性质1.解析函数的定义定义

如果函数 f ( z)在 z0及 z0的邻域内处处可导,那么称 f ( z)在 z0解析. Analysis 定义

如果函数 f ( z )在区域 D内每一点可微(解析),则称 f ( z )在区域 D内解析.或称 f ( z )是区域 D内的一个解析函数(全纯函数或正则函数).16

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