2012高中数学_第2章2.2.1第二课时_等差数列的性质_课件_新人教B版必修5

第二课时

课前自主学案 第 二 课 时

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知能优化训练

课前自主学案

温故夯基 1. 等差数列的定义 ： 如果一个数列从第 项 . 等差数列的定义： 如果一个数列从第2项 起 ， 每一项与它的前一项的差都等于同一个 常数， 那么这个数列叫做等差数列， 常数 ， 那么这个数列叫做等差数列 ， 这个常 公差 数叫做等差数列的_____,通常用字母d表示 ，通常用字母 表示 表示. 数叫做等差数列的 - 2.等差数列的通项公式： _______________. .等差数列的通项公式： an=a1+(n-1)d

知新益能1.等差中项 . (1)若 a,b,c 成等差数列，则 b 称为 a 与 c 的 若 ， , 成等差数列， a+c + 等差中项， 等差中项，且 b=______; = 2 ; (2)a,b,c 成等差数列 , , 成等差数列______2b=a+c; = + ; 1 (3)用递推关系 an+1= (an+an+2)给出的数列也 用递推关系 给出的数列也 2 是等差数列， 称为_________的等差中项 是等差数列，an+1 称为 an,an+2 的等差中项. + 的等差中项.

思考感悟 1.两个数a,b的等差中项唯一吗？ .两个数 ， 的等差中项唯一吗 的等差中项唯一吗？ 提示：唯一. 提示：唯一.

2.等差数列的性质 . (1)若m+n=p+q(m、n、p、q∈N+),则am+ , 若 + = + 、 、 、 ∈ ap+aq an=_______. (2)下标成等差数列的项 k,ak+m,ak+2m,…) 下标成等差数列的项(a 下标成等差数列的项 + + 仍组成_________ 仍组成 等差数列 . (3)数列 n+b},(λ,b为常数 仍为 数列{λa 为常数)仍为 数列 ， , 为常数 仍为_________. 等差数列 均为 (4){an}和{bn}均为 均为_________ ,则{an±bn}也是 和 也是 等差数列 等差数列. 等差数列. (5){an}的公差为 ，则d>0 {an}为_____数列； 的公差为d, 为 数列； 的公差为 数列 d<0 {an}为_____数列；d=0 {an递增 数列 数列； = }为___数列 数列. 为 数列 为 递减 常

(6)设{an}是公差为 d 的等差数列，那么 an=am 设 是公差为 的等差数列， an-am (n-m)d 或 = n-m - +________或 d=_______ (m,n∈N+). , ∈ . - 本性质是通项公式的推广，通常适用于“已知 本性质是通项公式的推广，通常适用于“ 等差数列某一项(或某几项 求数列中另一项” 或某几项), 求数列中另一项” 等差数列某一项(或某几项), 这类题目. 这类题目. 应用性质应注意， 应用性质应注意，n 与 m 的大小关系是不确定 性质仍然成立. 的，当 n≤m 时，性质仍然成立. ≤ (7)在有穷等差数列中，与首末两项等距离的两 在有穷等差数列中， _____________ 项的和等于首末两项的和 .

思考感悟 2.若 am+ an = ap+ aq , 则一定有 + n=p+q . 则一定有m+

= + 吗？ 提示：不一定.例如在等差数列a 2中 m, 提示：不一定.例如在等差数列an=2中，m, n,p,q可以取任意正整数，不一定有 +n= , , 可以取任意正整数 不一定有m+ = 可以取任意正整数， p+q. +

3.等差数列的设法 . (1)通项法：设数列的通项公式，即设 n=a1+ 通项法：设数列的通项公式，即设a 通项法 (n-1)d(n∈N+). - ∈ . (2)对称设法：当等差数列{an }的项数 为奇数 对称设法：当等差数列 的项数n为奇数 对称设法 的项数 时，可设中间的一项为a,再以公差为 向两边 可设中间的一项为 ，再以公差为d向两边 分别设项： 分别设项：…,a-2d,a-d,a,a+d,a+ - , - , , + , + 2d,…;当项数n为偶数时，可设中间两项分 ， 为偶数时， 当项数 为偶数时 别为a- , + ,再以公差为2d向两边分别设 别为 -d,a+d,再以公差为 向两边分别设 项：…,a-3d,a-d,a+d,a+3d,…. - , - , + , + ,

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考点突破 等差数列性质的应用例1 等差数列 n}中 ， 已知 2 + a3 + a10 + a11 等差数列{a 中 已知a

=36,求a5+a8. , 分析】 【 分析 】 解答本题既可以用等差数列的性

质，也可以用等差数列的通项公式. 也可以用等差数列的通项公式.

【解】

法一：根据题意设此数列首项为 法一：根据题意设此数列首项为a1,

公差为d,则： 公差为 ， a1+d+a1+2d+a1+9d+a1+10d=36, + + + = , ∴4a1+22d=36,2a1+11d=18, = = , ∴a5+a8=2a1+11d=18. = 法二：由等差数列性质得： 法二：由等差数列性质得： a5+a8=a3+a10=a2+a11=36÷2=18. ÷ =

【点评】 点评】

法一设出了a 法一设出了 1、d,但并没有求出 1、 ,但并没有求出a

d,事实上也求不出来，这种“设而不求”的方 ，事实上也求不出来，这种“设而不求” 法在数学中常用，它体现了整体的思想.法二运 法在数学中常用，它体现了整体的思想. 用了等差数列的性质： 用了等差数列的性质：若m+n=p+q(m,n,p, + = + , , q∈N+),则am+an=ap+aq. ∈ ,

自我挑战1 自我挑战

已知{a 为等差数列 为等差数列， 已知 n}为等差数列 ， a15 = 8, ,

a60=20,求a75. ,

解：法一：因为 a15=a1+14d,a60=a1+59d, 法一： , , a =64, a1+14d=8, = , 1 15 所以 解得 4 = , a1+59d=20, = d=15.

64 4 故 a75=a1+74d= +74× =24. = × 15 15 法二：因为 为等差数列， 法二：因为{an}为等差数列， 为等差数列 所以 a15,a30,a45,a60,a75 也成等差数列，其 也成等差数列， 为其第四项， 公差为 d,a15 为首项，则 a60 为其第

四项， , 为首项， , = 所以 a60=a15+3d,得 d=4. 所以 a75=a60+d a75=24.

巧设等差数列例2 (1)三个数成等差数列，和为 ，积为-24, 三个数成等差数列， 三个数成等差数列 和为6,积为-

求这三个数； 求这三个数； (2)四个数成递增等差数列，中间两数的和为2, 四个数成递增等差数列，中间两数的和为 四个数成递增等差数列 首末两项的积为- ,求这 …… 此处隐藏：1159字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……