考研数学习题课--基础班-第十讲下

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第十章复习课 线面积分的计算一、 曲线积分的计算法 二、曲面积分的计算法积分学 定积分二重积分三重积分 曲线积分 曲面积分 积分域 区间域 平面域 空间域 曲线域lim ∑ f ( Pi ) λ →0i =1 n i

曲面域

= ∫ F( P)d

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二、 曲面积分的计算法(一)对面积的曲面积分的概念及计算方 对面积的曲面积分的概念及计算方 法 (二)对坐标的曲面积分的概念及计算方法 对坐标的曲面积分的概念及计算方法 (三)高斯公式及斯托克斯公式 (四)物理应用

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(一)对面积的曲面积分的概念及计算方法 1.对面积的曲面积分的概念及性质 1.对面积的曲面积分的概念及性质 为光滑曲面, 是定义在∑ 定义: ①定义 设 ∑ 为光滑曲面 f (x, y, z) 是定义在∑ 上的一 个有界函数 个有界函数, 若对 ∑ 做任意分割和局部区域任意取点 函数 任意分割和局部区域任意取点, 和局部区域任意取点 “乘积和式极限” 乘积和式极限 乘积和式极限” n 积分区域： : 积分区域λ →0 i =1 假定光滑或逐片光滑. 假定光滑或逐片光滑

lim ∑ f (ξi ,ηi , ζ i ) Si

记作

∫∫ f ( x, y, z)d S∑

都存在, 则称此极限为函数 f (x, y, z) 在曲面 ∑ 上对面积 都存在 ： 逐片光滑： 逐片光滑 曲面分成若干块后 每块光滑 曲面分成若干块后,每块光滑 每块光滑. 的曲面积分曲面上各点处都有切平面 第一类曲面积分. 光滑曲面 或第一类曲面积分 曲面: 光滑曲面 曲面上各点处都有切平面, 且当点在曲面上 连续移动时, 连续移动时 说明： 说明： ∑:积分曲面 也称积分区域 ；S : 面积元素. (1)∑ 积分曲面 也称积分区域); 积分曲面(也称积分区域 d 切平面也连续转动. (2) f 切平面也连续转动上的第一类曲面积分. ( x, y, z)dS为封闭曲面

∫∫ Σ

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(3)存在性:当f ( x, y, z)在Σ上连续时, f ( x, y, z)d S存在. ∫∫∑

(4)物理意义 : 当µ( x, y, z )为光滑曲面Σ的面密度时,曲面形构件的

质量M = ∫∫ µ( x, y, z)d S . (5)当µ ( x , y , z ) = 1时,曲面Σ的面积 = ∫∫ d S ,1 + z′x2 + z′y2 d x d y 叫曲面面积的微元. 而d S =Σ

∑

(6)当Σ是xoy上的闭区域Dxy时， f ( x, y, z )dS = ∫∫ f ( x, y,0)dσ ∫∫Σ Dxy

故二重积分是第一类曲面积分的特例. 故二重积分是第一类曲面积分的特例 n x y, z)d S = lim ∑ f (ξi ,ηi ,ζ i ) i ∫∫ f (:,第一类曲面积分总是存在的S, λ →0 假定： 假定 第一类曲面积分总是存在的， i =1 ∑ 重点是计算第一类曲面积分. 重点是计算第一类曲面积分

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②第一类曲面积分的性质 (假定下面的面积分都存在 假定下面的面积分都存在) 假定下面的面积分都存在(1)设α , β 为常数, 则

∫∫ [α f ( x, y, z) + β g( x, y, z)]d S = α ∫∫ f ( x,

y, z)d S + β ∫∫ g( x, y, z)d S.∑ ∑ ∑

(2)可加性： 若曲面Σ可分为两片光滑曲面Σ1和Σ2 , 则

∫∫ f ( x, y, z)d S = ∫∫ f ( x, y, z)d S + ∫∫ f ( x, y, z)d S.∑ ∑1 ∑2

(3)若在曲面Σ上，f ( x, y, z) ≤ g( x, y, z),则

∫∫ f ( x, y, z)d S ≤ ∫∫ g( x, y, z)d S.∑ ∑

∫∫ f ( x, y, z)d S = lim∑ f (ξ ,η ,ζ ) S λ∑ →0 i =1 i i i

n

i

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(4)积分区域的对称性及变量的轮换对称性.

结论1 结论1

∫∫ f ( x, y, z)d S = lim∑ f (ξ ,η ,ζ ) S λ∑ →0 i =1 i i i

n

i

Σ = Σ1 U Σ2 , Σ1与Σ2关于 xoy(或yoz , 或zox )对称

∫∫Σ

2 f ( x, y, z)dS, f 关于 z (或x , 或y ) 是偶函数 ∫∫ f ( x, y, z)dS = Σ1 f 关于 z (或x , 或y ) 是奇函数 0,

结论2 结论2对称(轮换对称性) 如果积分曲面 Σ 关于平面 y = x 对称(轮换对称性) 则

∫∫ f ( x , y, z )dS = ∫∫ f ( y, x , z )dSΣ Σ

1 = [ ∫∫ f ( x , y , z )dS + ∫∫ f ( y , x , z )dS ] 2 Σ Σ

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P184 题2. 设 一卦限中的部分, 则有( 一卦限中的部分 则有

Σ1为 在 Σ 第

C ).z

z = a2 x2 y2a y

(B)

∫∫

Σ

ydS = 4∫∫ xdS ;Σ1

ox

(C)

∫∫

Σ

zdS = 4∫∫ xdS;Σ1

( 2000 考研 )

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2.对面积的曲面积分的计算方法 化为二重积分计算 2.对面积的曲面积分的计算方法(1)设 (1)设光滑曲面Σ由方程:z = z( x, y), ( x, y) ∈ Dxy给出,Dxy为Σ在

xoy面上的投影区域, 函数f ( x, y, z)在Σ上连续, 则 面

∫∫ f ( x, y, z)dS = ∫∫Σ

f [ x, y, z ( x ,

y ) ] 1 + z′x 2 + z′y 2 dxdy.zz Σ: = z(x, y)

′2 + z′2 σi 证明: 证明 由定义知 Si ≈ 1+ zx yf (x, y, z)dS = lim∑ f (ξi ,ηi ,ζ i ) Si ∫∫ λ →0= lim∑ f [ξi ,ηi , z(ξi ,ηi )] 1+ z′2 + z′y2 σi xλ →0i =1 n

Dxy

∑

n

i =1

o x( σi )

yDy x(ξi ,ηi ,ζi )

= ∫∫ f [ x, y, z ( x , y ) ] 1 + z′ 2 + z′y 2 dxdy. xDxy

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所以 (1)Σ:z = z( x, y), ( x, y) ∈ Dxy

∫∫ f ( x, y, z)dS = ∫∫ΣDxy

f [ x, y, z ( x ,

y ) ] 1 + z′x 2 + z′y 2 dxdy.

类似的有

(2)Σ:y = y( x, z), ( x, z) ∈ Dxz

∫∫Σ

f ( x, y, z)dS =

∫∫Dxz

f [ x, y ( x , z ) , z] 1 + y′ 2 + y′ 2 dxdz. x z

(3)Σ:x = x( y, z), ( y, z) ∈ Dyz

∫∫ f …… 此处隐藏：3364字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……