2014-2015学年数学必修五(人教A版)第三章不等式_3.2_一元二次不等式及其解法_第一

3.2 一元二次不等式及其解法

第一课时/一元二次不等式及其解法课标要求 学法指导 1.利用图象的直观形象可以准 1.知道什么是一元 二次不等式. 2.掌握一元二次不 确把握三个“二次”之间的关

系,牢固地记忆相关结论.2.解一元二次不等式的关键是 熟练掌握一元二次不等式解集 的结构特征,“对号入座”即可 快速地写出其解集.

等式的解法.

新课导入 知识探究 题型探究

达标检测

新课导入——实例引领

思维激活

实例:给出下列不等式: ①x2-3x+2>0;②x2+4x-5≤0;③2x2+x+5≤0; ④x2-4x+4>0;⑤4x2+3>0;⑥x2+6x+9>0. 想一想 实例中的6个不等式,它们含有几个未知

数?未知数的最高次数是多少?(它们只含有一个未知数,未知数的最高次数都

是2)

知识探究——自主梳理1.一元二次不等式 只含有一个

思考辨析

未知数,并且未知数的最高次数是

2

的不等式,

叫做一元二次不等式. 2.二次函数,一元二次方程、一元二次不等式之间的关系 见附表

题型探究——典例剖析题型一 一元二次不等式的概念

举一反三

【例1】 判断下列不等式中哪些是一元二次不等式?

①x2>0;②-x2-x<1;③2x2-4y+1≥0;④

1 <0;⑤ 2 x x 2

(x+3)(2x-1)≤0;⑥(k2+1)x2-2x-k>0(k∈R). 解:不等式①②⑤⑥中,只含有一个未知数,且未知数的最高 次数是2,且最高次项系数不为0,它们都是一元二次不等式;

不等式③中含有两个未知数,不是一元二次不等式;不等式④中含有分式,是分式不等式,不是一元二次不等式.

题后反思 一元二次不等式的特点:①含一 个未知数,②未知数的最高次数是2,③最高 次项系数不为0.

跟踪训练1-1:判断下列不等式是否是一元二 次不等式? (1)x2+ax-3>0; (2)-5x2-6x+3≤0; (3)ax2+3x-2≥0; (4)3x3+2x-1<0. 解: (1)(2)一定是一元二次不等式;(3)中,当 a≠0时是一元二次不等式,当a=0时,不是一元 二次不等式;(4)不是一元二次不等式.

题型二 一元二次不等式的解法【例2】 解下列不等式: ①-2x2+x-6<0; ②-x2+6x-9≥0; ③x(7-x)>0; ④13-9x2<0. 解:①原不等式可化为 2x2-x+6>0, ∵方程2x2-x+6=0的判别式 Δ=(-1)2-4×2×6<0, ∴函数y=2x2 -x+6的图象开口向上,与x轴无交点(如图).∴观察图象可得,不等式的解集为R.

②原不等式可化为x2-6x+9≤0, 即(x-3)2≤0, ∴原不等式的解集为{x|x=3}. ③原不等式可化为x(x-7)<0, 方程x(x-7)=0的两根是x1=0, x2=7, 函数y=x(x-7)的图象是开口向上的抛物线,与x轴有两个交点 (0,0),(7,0)(如图). 观察图象可得, 原不等式解集为{x|0<x<7}.

④原不等式可化为 2 9x -13>0,

13 即x>0, 92

13 13 即(x+ )(x)>0, 9 9 13 13 方程(x+ )(x)=0 的两根是 3 3 13 13 x1=,x2= , 3 3

13 13 函数 y=(x+ )(x)的图象是开口向上的 3 3 13 13 抛物线,与 x 轴有两个交点(,0)

,( ,0) 3 3(如图). 观察图象可得,原不等式解集为

13 13 {x︱x<或 x> }. 3 3

题后反思 求解一元二次不等式的步骤(1)通过对不等式的变形,使不等式右侧为零,使二次项系数为正.(2)对不等式左侧因式分解,若不易分解,则计算对应方程 的判别式. (3)求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程 无实根.

(4)根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图. (5)根据图象写出不等式的解集

跟踪训练2-1: (1)若关于x的方程x2+mx+1=0有两个不 相等的实数根, 则实数m的取值范围是( ) (A)(-1,1) (B)(-2,2) (C)(-∞,-2)∪(2,+∞) (D)(-∞,-1)∪(1,+∞) (2)(2012年高考湖南卷)不等式x2-5x+6≤0的解集 为 . 解析: (1)由题意知Δ=m2-4>0, ∴m<-2或m>2.故选C. (2)x2-5x+6≤0,即(x-2)(x-3)≤0.故2≤x≤3. 答案: (1)C (2){x|2≤x≤3}

题型三 简单的分式不等式的解法【例 3】 解下列不等式:

2x 1 (1) ≥0; 3x 1 2 x (2) >1. x 3

2 x 1 3x 1 0, 解:(1)原不等式可化为 3x 1 0,

1 1 x 或x , 3 2 解得 x 1 , 3

1 1 ∴x<- 或 x≥ , 2 3 1 1 ∴原不等式的解集为{x︱x<- 或 x≥ }. 2 3