突破练(一)

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1．已知函数f(x)＝2 ωx－2cos ωx－1(ω＞0)的周期T＝π.

π

(1)若直线y＝m与函数f(x)的图象在x∈ 0，2 时有两个公共点，其横坐标分

别为x1，x2，求f(x1＋x2)的值；

(2)已知三角形ABC的内角A、B，C的对边分别为a，b，c且c＝3，f(C)＝0，若向量m＝(1，sin A)与n＝(2，sin B)共线，求a，b的值． 31

解 (1)∵f(x)＝2 ωx－2ωx－1 π

＝sin (ωx－6－1， 2π

∴T＝π，∴ω＝2，

ωπ

∴f(x)＝sin (2x－6)－1，

ππ

又∵y＝f(x)的图象关于x＝3对称，所以当x∈ 0，2时，

π

y＝m与函数f(x)图象的交点关于x＝3对称， 2π2π3

∴x1＋x23f(x1＋x2)＝f3＝－2π

(2)由(1)知f(C)＝sin (2C－6－1＝0， π∴C3.

又∵m∥n，∴2sin A－sin B＝0， ∴2a＝b，

又a2＋b2－2abcos C＝c2，c＝3， 解得：a3，b＝3.

2．某市教育主管部门为了弘扬民族文化，在全市各中学开展汉字听写大赛，某学校经过七轮选拔，最后选出甲、乙两名选手代表本校参加市里决赛，甲、乙两名选手七轮比赛得分情况如下表所示：

(1)(2)从甲选手的7次成绩中随机抽取两次成绩，求抽出的两次成绩的分数差距至少是3分的概率．

86＋94＋89＋88＋91＋90＋92

解 (1)由题意得x甲＝＝90，

7x乙＝

88＋89＋90＋91＋93＋92＋87

＝90，

7

12s甲＝7[(86－90)2＋(94－90)2＋(89－90)2＋(88－90)2＋(91－90)2＋(90－90)2＋(92－90)2]＝6；

12s乙＝7[(88－90)2＋(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(93－90)2＋(92－90)2＋(87－90)2]＝4；

因为6＞4，所以乙选手成绩更稳定．

(2)从甲选手的七次成绩中随机抽取2次的所有基本事件为：(86,94)(86,89)，(86,88)，(86,91)，(86,90)，(86,92)，(94,89)，(94,88)，(94,91)，(94,90)，(94,92)，(89,88)，(89,91)，(89,90)，(89,92)，(88,91)，(88,90)，(88,92)，(91,90)，(91,92)，(90,92)共21种情况，则抽取的两次分数差距至少3分的事件包含：(86,94)(86,89)，(86,91)，(86,90)，(86,92)，(94,89)，(94,88)，(94,91)，(94,90)，(89,92)，(88,91)，(88,92)共12种情况．则抽取的两次成绩差距至少3分的概124率P＝2173．数列{an}的前n项和为Sn，若an＋1＝－4Sn＋1，a1＝1， (1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Tn.

解 (1)当n≥2时，an＝－4Sn－1＋1，又an＋1＝－4Sn＋1，

an＋1

∴an＋1－an＝－4an，即a＝－3，n≥2，

n又a2＝－4a1＋1＝－3，a1＝1，

∴数列{an}是首项为a1＝1，公比为q＝－3的等比数列， ∴an＝(－3)n－1.

(2)由(1)可得bn＝n·(－3)n－1，

Tn＝1·(－3)0＋2·(－3)1＋3·(－3)2＋…＋(n－1)·(－3)n－2＋n·(－3)n－1， －3Tn＝1·(－3)1＋2·(－3)2＋…＋(n－2)·(－3)n－2＋(n－1)·(－3)n－1＋n(－3)n. ∴4Tn＝1＋(－3)1＋(－3)2＋…＋(－3)n－1－n·(－3)n. 1－ 4n＋1 －3 n所以，Tn＝.

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4．如图，在四棱锥P－ABCD中，侧面三角形PAD是等边三角形，底面ABCD为直角梯形，且AD∥BC，AD⊥CD，平面PAD⊥底面ABCD，E为AD的中点，M是棱PC上一点，且AD＝2BC＝4，CD＝3. (1)试确定点M的位置，使得PE∥平面BDM，并证明； (2)在(1)的条件下，求三棱锥P－MBD的体积．

解 (1)点M是PC的中点．连接BE，因为BC∥AD，DE＝BC，所以四边形BCDE为平行四边形，连接EC交BD于O，连接MO，则MO∥PE，又MO 平面BDM，PE 平面BDM，所以PE∥平面BDM.

(2)由题意VP－MBD＝VP－DBC－VM－DBC，由于平面PAD⊥底面ABCD，三角形PAD是等边三角形，所以PE⊥AD，所以PE⊥底面ABCD. 则PE是三棱锥P－DBC的高， 由题意PA＝AD＝PD＝4， 所以PE＝23，

由(1)知MO是三棱锥M－DBC的高， MO＝3，S△DBC＝3，

所以VP－DBC＝4，VM－DBC＝2，则VP－MBD＝2.

5．过抛物线y2＝4x的焦点F作倾斜角为锐角的直线l，l与抛物线的一个交点为→→

A，与抛物线的准线交于点B，且AF＝FB.

(1)求以AB为直径的圆被抛物线的准线截得的弦长；

(2)平行于AB的直线与抛物线相交于C、D两点，若在抛物线上存在一点P，使得直线PC与PD的斜率之积为－4，求直线CD在y轴上截距的最大值． 解 (1)过A作y2＝4x准线的垂线AH，垂足为H，

1

则|AH|＝|AF|＝2AB|，所以直线AB的方程为y＝3(x－1)，

所以B(－1，－23)，|BF|＝4，所以以AB为直径的圆为(x－1)2＋y2＝16， 所以，截得的弦长为43.

22 y y

(2)设直线CD：y＝3x＋m，P 4，y0 ，C 4，y1 ，

y

D 4y2 ，

4把y＝3x＋m代入y＝4x，消去x，得3y－4y＋4m＝0，则y1＋y2＝3

2

2

2

4my1·y2＝，

3

3

Δ＝16－163m＞0，所以m＜3， 所以，kPC·kPD＝

44

＝－4， y1＋y0y2＋y0

所以y1·y2＋y0(y1＋y2)＋y20＝－4， 所以y20＋

4y4m

＋＝－4， 33

2

3y0＋4y0＋(4m＋43)＝0.

2所以，Δ＝16－43(4m＋43)≥0，所以m≤－3. 22

当m＝－33时，直线CD：y＝3x－33， 2

所以直线在y轴上截距最大值为－3..

6．已知函数f(x)＝ln x.

(1)求证：当0＜x＜1时，f(1＋x)＞(2)若

4x； x＋6

x＋11

＜ax在[1，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围． f x＋1

4x

(1)证明 设g(x)＝ln(x＋1)－

x＋6x2－12x＋12124

则g′(x)＝－＝.

x＋1 x＋6 x＋1 x＋6 当x∈(0,1)时，g′(x)＞0.∴g(x)在区间(0,1)上是增函数．∴g(x)＞g(0)＝0， ∴ln(x＋1)＞

4x4x.即当0<x<1时，f(1＋x)>x＋6x＋6

x＋11

(2)解 由已知，对 x∈[1，＋∞)，有axln(x＋1)＞0，

ln x＋1 ∴a＞0.

x＋1

从而，a＜xx＋1)在区间[1，＋∞)上恒成立． x＋1

令h(x)＝xx＋1)， 1

则h′(x)＝xx－ln(x＋1)]．

再令t(x)＝x－ln(x＋1)，则t′(x)＝1－

1x0.∴t(x)在区间[1，＋∞)x＋1x＋1

上递增，从而t(x)≥t(1)＝1－ln 2＞0.∴h′(x)＞0在区间[1，＋∞)上恒成立．∴h(x)在区间[1，＋∞)上递增． h(x)min＝h(1)＝2ln 2，∴0＜a＜2ln 2.