高数上册期中考试复习
时间：2025-07-05
高数（一一）复习题库 第一章 极限与连续
1．函数f(x)在a点左连续且右连续是f(x)在a点连续的充分且必要条件； 2．数列{xn}单调且有界是数列{xn}收敛的充分条件. 3. 如果数列{xn}满足：当k 时，x2k 1 a且x2k b，则mil时极限存在D
4．数列{xn}收敛是数列{xn}有界的充分条件. 5．函数y 6．极限lim(
n
n
xn （ 当a b
x 1 ln(2 x)的定义域D [1,2) .
nn 1
)
2n
2
2 .
1
7．求极限lim
x
x
； lim
x 0
解：原式
lim
x 0
x
1
1e 1
x
8．求极限lim(
x 0
x
).
解：原式
lim9．极限lim
2
x 0
lim
x 0
lim
x 0
x
x
（A）等于1； （B）等于 1； （C）不能确定是否存在； （D）不存在.
x 0
（ D ）.
2
2
10．极限lim11．极限lim
(x h) x
h 0
2x
h
(1 n)(2n 1)(n 3)
3n1
1
x
3
；
–2/3 ；
5分）
32
n
12．求极限lim(
x 1
11 x
3
).（本小题
解：原式 lim
x 1
1
2
lim
1
2
1 xx x
2
x 1
0，所以，原式 ) 1 (a 0).（本小题
13．证明limn(
n
n an 2an na
111
2 2)，则 证明：设xn n(2
n an
2an na111n
xn n(2 2
2) yn
n an nan nan na
111
xn n(2 2 2) 1 znyn xn zn；
nnn
n
limzn lim1 而limyn
lim由夹逼准则，得limxn 1n n n an
n n
1
6分）
14．求极限lim
x tanxxsinx.
2
x 0
.（本小题5分）
解：原式
lim
2x 0
lim
x
0
lim
3
1tanx
22
x
x 0
15．求极限lim解：原式 lim
2x 11x 15x x 6
2
x 3
.（本小题5分）
lim
x 3x 3
16．已知0
a b,求极限lim
（本小题6分）；
n
解：原式 blim
n
b
或用夹逼准则，b
n
n
a b
nn
b n2
n
由limb b
,lim(b n2) blim17、(本题8分) 设函数
a b
nn
b 2
ln(1 x), x 0;
若f(x)
在x 0f(x) x
k x, x 0.
x 0
点连续，求k的值.
解：f(0) k
f(0 ) limf(x) lim(k x) k
x 0
f(0) lim f(x) lim
x 0
x 0
2ln(1 x)
x
2
要使函数f(x)在
x 0点连续，必须f(0 ) f(0 ) f
(0)得k 2（注：少f(0)扣2分） 18、(本题8分)
sinax
x 0,x 2k ; f(x) b, x 0;
12 [lnx ln(x x)], x 0.
x
已知
问a,b为何值时，函数f(x)在x 0点连续. 解：
f(0 ) limf(x) lim
x 0
sinax
x 0
cosx
2
lim
x 0
sinax x/
2x
f(0) b，
f(0) lim f(x
) lim
x 0
x 0
lnx ln(x x)
x
lim
x 0
ln(x 1)
要使函数f(x)在x 0点连续，必须f(0 ) f(0
) f(0)于是， a2 1 b得a 2/2,b 19、设函数f(x)在闭区间[0,2a]上连续，且f(0) f(2a)，证明在闭区间[0,a]上至少有一点
使f( ) f( a).
（本题8分）
证明：设F(x) f(x) f(x a)（x [0,a]），函数F(x)在闭区间[0,a]
F(0) f(0) f(a),F(a) f(a) f(2a) f(a) f(0)
若f(0) f(a)，则F(0) F(a) 0，取 0或 a，则F
( ) 0若f(0) f(a)，则F
(0)F(a) [f(0) f(a)]2 0由零点定理，有 (0,a)，使得F
( ) 0综上，总有 [0,a]，使得F( ) 0，
即在闭区间[0,a]上至少有一点 使f(
) f( a)第二章 导数与微分
1．函数f(x)在点x0的某邻域有定义，则f(x)在x0连续是f(x)在x0可导的（ B ）条件.
(A)充分； (B)必要； (C)充分必要； (D)既非充分，也非必要. 2．设函数y （A）（C）
2
lnxx
(x 0)，则dy （ B ）.
(1 lnx)dx
x
d(lnx) lnxdx
x
2
； （B）
； （D）
(1 lnx)dx
x
2
；
.
f(x) g(x)
2
2
xd(lnx) lnxdx
x
2
3．若函数f(x),g(x)可导，且f2(x) g2(x) 0，设y
y
，则
f(x)f (x) g(x)g (x)
f(x) g(x)
2
2
.
4．设函数y lntan解：y
1
tan(x/2)
(tan
x2
x2
，求y ；
1tan(x/2)
sec
2
)xx12cscx()
sec
222tan(x/
2)5．设函数u f[ (x) y2]，其中y y(x)由方程y ey x确定，如
果函数
f(x), (x)
均为可导函数，求
dudx
；
解：方程y ey x两边同时对
x求导y ey
y 1y
du
dx
2
f [ (x) y] [ (x) 2y
y f [ (x) y2] [ (x)
2y1 e
y
x ln(1 t2),dy
6．若函数y y(x)由参数方程 确定，求.
dx y t arctant.
解：
x
(t)
y (t)
1
x 1
11 t
2
dydx
t2
7．若y arctan
x 1dx
1x 111 (x 1) 1 (x 1)
y ()解：2 1
2x 12
x 11 (x)1 ()(x 1
)x
1x 1
，求
dy
.
x ln(1 t2),dy
8．若函数y y(x)由参数方程 确定，求. 2
dxy t.
解：
x
(t)
y (t) 2t
dydx
1 t2第三章 微分中值定理与导数的应用
1．函数f(x) 2x
4x
在区间
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