人工智能2006(6模糊逻辑及ES)

模糊逻辑从集合角度：模糊集合 从逻辑角度：模糊逻辑 从推理角度：模糊推理 从技术、方法：模糊技术、模糊方法 从应用角度：模糊系统

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1.模糊逻辑基础 1.模糊逻辑基础模糊性是指客观事物在形态和属性方面的不确定 模糊性与随机性 –随机性所描述的事件或现象本身含义是清楚的， 随机性所描述的事件或现象本身含义是清楚的， 随机性所描述的事件或现象本身含义是清楚的 可以明确地判定该事件在某特定的时刻发生了还 是没有发生。随机性用概率来度量， 是没有发生。随机性用概率来度量，并要求所有 可能事件的概率总和为1 可能事件的概率总和为1。 –模糊性所描述的现象或概念本身的“边界”是 模糊性所描述的现象或概念本身的“边界” 模糊性所描述的现象或概念本身的 不清楚的。模糊性是用“可能性” 介于0 不清楚的。模糊性是用“可能性”(介于0和1之 来度量的，并且不要求可能性总和为1 间)来度量的，并且不要求可能性总和为1。

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模糊逻辑是一种精确解决不精确、不完全信息的方法。 模糊逻辑是一种精确解决不精确、不完全信息的方法。 模糊逻辑可以比较自然地处理人的概念， 模糊逻辑可以比较自然地处理人的概念，它是通过模 仿人的思维方式来表示和分析不确定、 仿人的思维方式来表示和分析不确定、不精确信息的方 法和工具。 法和工具。 例如：通常我们评判一个成年男子，当他的身高： 例如：通常我们评判一个成年男子，当他的身高： 低于1.60 ——矮个子 1.60米 低于1.60米——矮个子 1.69米——中等 1.69米——中等 1.80米——高个子 1.80米——高个子 大于1.90 ——非常高 1.90米 大于1.90米——非常高 如果一个人的身高为1.74 1.74米 我们说他是比较高的， 如果一个人的身高为1.74米，我们说他是比较高的，但是 在二值逻辑中就无法表达“比较高” 在二值逻辑中就无法表达“比较高”,在模糊逻辑中我 们可以说此人46%属于高，54%属于中等 46%属于高 属于中等, 们可以说此人46%属于高，54%属于中等,这样就比较符 合人的思维。模糊逻辑本身并不模糊，而是用来对“ 合人的思维。模糊逻辑本身并不模糊，而是用来对“模 进行处理，以达到消除模糊的逻辑。 糊”进行处理，以达到消除模糊的逻辑。3

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(1)模糊集合

经典集合对事物只用“1”和 0”作简单的表示“属于” 经典集合对事物只用“1”和“0”作简单的表示“属于”和“不 作简单的表示 属于”的分类；而模糊集合则把它扩展成可用从0 属于”的分类；而模糊集合则把它扩展成可用从0到1之间连续变 化的值，来描述元素属于该集合的程度。 化的值

,来描述元素属于该集合的程度。

例如：在一般情况下，大部分人都把从“15°C——25°C的室温称 例如：在一般情况下，大部分人都把从“15° ——25° 25 ——舒适的温度 小于15 舒适的温度， 15° 为凉，大于15 15° 为热” 作——舒适的温度，小于15°C为凉，大于15°C为热”。用经典 集合来定义，如图所示，把小于15°C的温度哪怕是14.9°C也看 集合来定义，如图所示，把小于15° 的温度哪怕是14.9° 15 14.9 成是属于“ 的温度，14.9° 15° 只差0.1 0.1° 成是属于“凉”的温度，14.9°C与15°C只差0.1°C,就把 15° 规为“舒适” 而把14.9 14.9° 规为“ 就人的感觉而言， 15°C规为“舒适”,而把14.9°C规为“凉”,就人的感觉而言， 显然是不恰当的。而用模糊集合来定义， 显然是不恰当的。而用模糊集合来定义，就要用对某一个模糊元 素具有0到1之间连续变化隶属度的特征函数来描述，如图2.1.3 素具有0 之间连续变化隶属度的特征函数来描述，如图2.1.3 所示，在模糊逻辑中与人的感觉一致， 所示，在模糊逻辑中与人的感觉一致，小的温度变化只会引起系 统性能的逐渐变化，14.9° 15° 统性能的逐渐变化，14.9°C与15°C属于同一个集合的程度是很 接近的。在这种情况下，32° 被认为属于“舒适”的程度是0.3 0.3, 接近的。在这种情况下，32°C被认为属于“舒适”的程度是0.3, 还同时属于“ 的程度是0.7 0.7。 还同时属于“热”的程度是0.7。 4

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模糊集与隶属函数 定义： 是给定论域， 是把任意μ∈U映射为[0 μ∈U映射为[0, 定义：设U是给定论域， F 是把任意μ∈U映射为[0, 1]上某个值的函数 上某个值的函数， 1]上某个值的函数，即 F :U→[0,1] U→[0, u→ (u) 为定义在U上的一个隶属函数， 则称 F 为定义在U上的一个隶属函数，由 (u)(对所有 F u)(对所有 ∈U)所构成的集合 称为U上的一个模糊集， (u)称为 所构成的集合F 称为u u ∈U)所构成的集合F称为U上的一个模糊集， F u)称为u 的隶属度。 对F的隶属度。 隶属函数表示该元素隶属于F的程度或可能性， 隶属函数表示该元素隶属于F的程度或可能性， F 值 越大表示隶属的程度越高。 越大表示隶属的程度越高。 这种方法在具体实现时， 这种方法在具体实现时，应把隶属度为零的元素剔除 掉，否则消耗资源太多5

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例：设论域 U={20,30,40,50, U={20,30,40,50,60} 给出的是年龄，确定一个刻画模糊概念“年轻” 给出的是年龄，确定一个刻画模糊概念“年轻”的模糊集 F. 假设对论域U中的元素， 假设对论域U中的元素，其隶属函数值分别为 μF(20)=1, μF(30)=0.8, μF(40)=0.4, μF(50)=0.1, μF(60)=0 则其模糊集为 F={1,0.8,0.4,0.1,0} 定义：

是给定论域， 是在U上取值的变量， 定义：设U是给定论域，x是在U上取值的变量，则可能性 分布函数 →[0, πx:U →[0,1] 表示x u∈U)值的可能性 值的可能性。 表示x取u(u∈U)值的可能性。 poss{x=u}表示 表示， 用poss{x=u}表示，即poss{x=u}= πx(u) 可能性分布函数与隶属函数之间的关系： 可能性分布函数与隶属函数之间的关系： πx(u)= μF(u) u∈U 6 即 poss(x=u)= μF(u)

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(2)模糊集的表示方法 对离散且为有限论域 U={u1, u2,… un} 其模糊集可表示为 列举法: ),… μF(un) } 列举法: F={μF(u1), μF(u2), 为表示出论域中的元素与其隶属度之间的对应关系， 为表示出论域中的元素与其隶属度之间的对应关系，可 用如下表示方法：特征函数法(序偶法) 用如下表示方法：特征函数法(序偶法): F= μF(u1)/u1+μF(u2)/u2+… +μF(un)/unF =

∑

n

i=1

F

(u i ) / u

i

F= {μF(u1)/u1,μF(u2)/u2,… ,μF(un)/un } F={( μF(u1),u1),(μF(u2),u2)… (μF(un),un)} 如：F=1/20+0.8/30+0.4/40+0.1/507

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对连续论域，模糊集可用实函数表示。 对连续论域，模糊集可用实函数表示。 U=[1, 如： U=[1,100] 1 当0≤u≤25 2 1 年轻 = 1 + 25 25< 当25<u≤100 5

年老

=

2 5 1 + 50

0

1

当0≤u≤50 50< 当50<u≤100

模糊集的一般表示形式： 模糊集的一般表示形式：

F =

∫

F

( ) /

∈U

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(3)模糊集的运算 分别是U上的两个模糊集，若对任意u∈U u∈U, 设F、G分别是U上的两个模糊集，若对任意u∈U,都有 μF(u)=μG(u) 成立，则称F等于G 记为F=G. 成立，则称F等于G,记为F=G. 分别是U上的两个模糊集，若对任意u∈U u∈U, 设F、G分别是U上的两个模糊集，若对任意u∈U,都有 μF(u)≤μG(u) 成立，则称F含于G 记为F 成立，则称F含于G,记为F G. 分别是U上的两个模糊集， F∪G、F∩G分别称 设F、G分别是U上的两个模糊集，则F∪G、F∩G分别称 为F与G的并集、交集，其隶属函数分别为： 的并集、交集，其隶属函数分别为： F∪G:μF∪G(u)=max{μF(u),μG(u)}= μF(u)∨μG(u)u∈U u∈U

F∩G:μF∩G(u)=min{μF(u),μG(u)}= μF(u)∧μG(u) 设F是U上的模糊集，称~F为F的补集，其隶属函数为： 上的模糊集， ~F为 的补集，其隶属函数为： (u)1~F: μ~F(u)1- μF(u) 9

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例：设U={1,2,3},F和G分别是U上的两个模糊集，即 U={1,2,3},F和 分别是U上的两个模糊集， F=小 F=小=1/1+0.6/2+0.1/3 G=大 G=大=0.1/1+0.6/2+1/3 F∪G=(1∨0.1)/1+(0.6∨0.6)/2+(0.1∨1)/3 =1/1+0.6/2+1/3 F∩G=(1∧0.1)/1+(0.6∧0.6)/2+(0.1∧1)/3 =0.1/1+0.6/2+0.1/3 ~F=(1-1)/1+(1-0.6)/2+(1~F=(1-1)/1+(1-0.6)/2+(1-0.1)/3 =0.4/2+0.9/3 两个模糊集之间的运算是逐点对隶属函数做相应的运算。 两个模糊集之间的运算是逐点对隶属函数做相应的运算。10

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(4)模糊关系

经典关系: 经典关系: 表示事物间是否存在关联关系的基 本概念是表示集合中元素间的联系。 本概念是表示集合中元素间的联系。序偶可以 表达关系这个概念，经典关系是明确的关系。 表达关系这个概念，经典关系是明确的关系。 例如：父子关系，弟兄关系，熟知关系，大于， 例如：父子关系，弟兄关系，熟知关系，大于， 小于关系等都是明确的关系。 小于关系等都是明确的关系。 模糊关系： 世界上存在着另一类关系， 模糊关系： 世界上存在着另一类关系，论域中 的元素很难用完全肯定的属于或完全否定的不 属于来回答。例如： 大得多”“ ”“长得 属于来回答。例如：“大得多”“长得 ……这类关系就是模糊关系 这类关系就是模糊关系， 像”……这类关系就是模糊关系，它是普通关 系的拓宽。 系的拓宽。描述事物之间对于某一模糊概念上 关联的程度，就称为模糊关系。 关联的程度，就称为模糊关系。11

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关系的矩阵表示 是两个普通集合， 的笛卡儿乘积是由V 设V与W是两个普通集合，V与W的笛卡儿乘积是由V与W 上所有可能的序偶( 构成的一个集合， 上所有可能的序偶(v,w)构成的一个集合，即： W={(v,w)|任意 任意v∈V, 任意w∈W} V×W={(v,w)|任意v∈V, 任意w∈W} 的关系R 是指V 上的一个子集， V× 从V到W的关系R,是指V×W上的一个子集，即R V×W R 记为： 记为： V→ W R,则 有关系； 若(v,w)∈R,则v与w有关系； R,则 无关系； 若(v,w) R,则v与w无关系； V={1班 例：设V={1班，2班，3班} W={男队 女队} 男队， W={男队，女队} 则 V×W={(1班，男队),(2班，男队),(3班，男队), W={(1班 男队),(2班 男队),(3班 男队) (1班 女队),(2班 女队),(3班 女队) (1班，女队),(2班，女队),(3班，女队)}12

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(I=1,2,…,n)上的模糊集， ,n)上的模糊集 设Fi是Ui(I=1,2, ,n)上的模糊集，则称F1 × F2 × ... × Fn =U 1 ×U 2 ×...×U n

∫ (

F1

(u1 ) ∧ 2 (u 2 ) ∧ ... Fn (u n )) /(u1 , u 2 ,..., u n )

为F1,F2,…Fn的笛卡尔乘积，是U1×U2×…×Un上的一个模 F 的笛卡尔乘积， × 糊集。 糊集。 在U1×U2×…×Un上的一个n元模糊关系R指以 × 上的一个n元模糊关系R U1×U2×…×Un为论域的一个模糊集，记为 × 为论域的一个模糊集，R =R U 1 × U 2 × ... × U n

∫

( u 1 , u 2 ,..., u n ) /( u 1 , u 2 ,..., u n )

uR(u1,u2,…un)是模糊关系R的隶属函数，它把 u 是模糊关系R的隶属函数， [0, × 上的每一个元素( u 都映射为[0 U1×U2×…×Un上的每一个元素( u1,u2,…un)都映射为[0, 1]上的一个实数，反映u1,u2,…un具有关系R的程度。 1]上的一个实数，反映u u 具有关系R的程度。 上的一个实数13

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例：设有一组学生U={u1,u2}={秦学

,郝万} 设有一组学生U={u }={秦学，郝万} 秦学 一些在计算机上的活动 V={编程 上网，玩游戏} 编程， V={编程，上网，玩游戏} 秦学，编程)=0.9, 秦学，上网)=0.6, 秦学， uR(秦学，编程)=0.9,uR(秦学，上网)=0.6,uR(秦学， 玩游戏)=0, 郝万，编程)=0.2, 郝万，上网) 玩游戏)=0,uR(郝万，编程)=0.2, uR(郝万，上网) =0.3, 郝万，玩游戏) =0.3, uR(郝万，玩游戏)=0.8 上的模糊关系R 则U×V上的模糊关系R为 R= 0.9 0.6 0 0.2 0.3 0.8子女和父母“相像”的关系可以有以下的模糊矩阵表示： 子女和父母 相像”的关系可以有以下的模糊矩阵表示： 相像

父

母

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(5)模糊关系的合成

在日常生活中，两个单纯关系的组合， 在日常生活中，两个单纯关系的组合， 可以 构一种新的合成关系。例如， 构一种新的合成关系。例如，有 三个人， 的妹妹， 三个人，若 是 的妹妹，而 又是 的丈夫， 的丈夫，则 与 就是一种新的 关系，即姑嫂关系。用关系式表示的话, 关系，即姑嫂关系。用关系式表示的话,可写 作 ,其中 是合成运算 符。 模糊关系和普通关系一样， 模糊关系和普通关系一样，两种模糊关系可 组合成一种合成关系。 组合成一种合成关系。

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是分别是U 上的两个模糊关系， 设R1与R2是分别是U×V与V×W上的两个模糊关系，则R1与 的合成是从U 的一个模糊关系， R2的合成是从U到W的一个模糊关系，记为 R 1 。R 2 其隶属函数为 uR1 。R2(u,w)= ∨{uR1(u,v)∧ uR2(v,w)} 例：设有以下两个模糊关系 0.9 0.6 0 0.7 0.9 R1= 0.2 0.3 0.8 R2= 0.2 0.8 0.5 0.3 则R1与R2的合成是 R=R1 。R2= 0.7 0.9 0.5 0.316