D9_4重积分的应用

D9_4重积分的应用

第四节 重积分的应用一、立体体积 二、曲面的面积 三、物体的质心 四、物体的转动惯量 五、物体的引力机动 目录 上页

第九章

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1. 能用重积分解决的实际问题的特点 分布在有界闭域上的整体量 所求量是 对区域具有可加性 2. 用重积分解决问题的方法 用微元分析法 (元素法) 从定积分定义出发 建立积分式 3. 解题要点 画出积分域、选择坐标系、确定积分序、 定出积分限、计算要简便

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一、立体体积 曲顶柱体 曲顶柱体的顶为连续曲面 则其体积为

V = ∫∫ f (x, y)dxdyD

占有空间有界域 的立体的体积为 空间有界域

V = ∫∫∫ dxdydz

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例1. 求曲面

任一点的切平面与曲面

所围立体的体积 V . 的切平面方程为 解: 曲面 S1在点2 2 z = 2x0x + 2y0 y +1 x0 y0

它与曲面

的交线在 xoy 面上的投影为 ( D (x x0 )2 + ( y y0 )2 =1 (记所围域为D )

∴ V = ∫∫ [ 2x0x + 2y0 y +1 x02 y02 x2 y2]d x d yD

= ∫∫ [ 1 ( (x x0 )2 + ( y y0 )2 ) ]d x d y令x x0 = r cosθ , y y0 = r sinθD

= π ∫∫ r r d r d θ = π ∫ dθ ∫2 D0

2π

1 3 π r dr = 0 2目录 上页 下页 返回 结束

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例2. 求半径为a 的球面与半顶角为α 的 内接锥面所围成的立体的体积. 解: 在球坐标系下空间立体所占区域为2a

zM

0 ≤ r ≤ 2a cos : 0 ≤ ≤ α 0 ≤θ ≤ 2π则立体体积为

α o y x 2 dv = r sindθ d dr

r

V = ∫∫∫ dxdydz = ∫ dθ

0

2π

∫0 sin d ∫3

α

2a cos 2 r dr 0

=

3 α 16π a

3

∫0

4π a cos sin d = (1 cos4 α ) 33机动 目录 上页 下页 返回 结束

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二、曲面的面积设光滑曲面 则面积 A 可看成曲面上各点 M(x, y, z) 处小切平面的面积 d A 无限积累而成. 设它在 D 上的投影为 dσ , 则

zS

n γ

M

dσ = cosγ d Acosγ =

o xn

dσ y

1 1+ f x2 (x, y) + f y2 (x, y)2 2

z

γ

d A= 1+ f x (x, y) + f y (x, y) dσ(称为面积元素)机动 目录

dA M dσ

γ

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故有曲面面积公式

A= ∫∫即

D

1+ f x2 (x, y) + f y2 (x, y) dσz 2 z 2 1+ ( ) + ( ) d x d y x y

A= ∫∫

D

若光滑曲面方程为 x = g( y, z) , ( y, z) ∈Dy z ,则有

Dy z

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若光滑曲面方程为 y = h(z, x) , (z, x) ∈Dz x ,则有

A= ∫∫ Dz x

y 2 y 2 1+ ( ) + ( ) d zd x z x且 则

若光滑曲面方程为隐式

Fy Fx z z = , = , x Fz y Fz

(x, y) ∈Dx y2

∴ A = ∫∫ Dx y

Fx + Fy + Fz2 2

Fz

dxd y

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例3. 计算双曲抛物面 出的面积 A .

被柱面

所截

解: 曲面在 xoy 面上投影为 D: x2 + y2 ≤ R2 , 则

A = ∫∫

D

1+ zx + zy dxdy2 2

= ∫∫=∫0

D

1+ x2 + y2 dxdydθ ∫R 0

2π

1+ r 2 r dr

3 2 2 2 = π [ (1+ R ) 1) ] 3

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例4. 计算半径为 a 的球的表面积. 方法1 解: 方法 利用球坐标方程. 设球面方程为 r = a 球面面积元素为z

asin

asindθ dθ

d A= a2 sin d dθ∴π 2 2π A= a dθ sin d 0 0 2

ox

a

ady

∫

∫

θ

= 4π a

方法2 方法 利用直角坐标方程. (见书 P109)

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三、物体的质心设空间有n个质点, 分别位于 (xk , yk , zk ) , 其质量分别 为 mk ( k =1, 2, , n ) ,由力学知, 该质点系的质心坐标

∑xk mk为

n

x=

k =1 n

∑yk mk, y=k =1 n

n

∑zk mk, z=k =1 n

n

∑mkk =1

∑mkk =1

∑mkk =1

设物体占有空间域 , 有连续密度函数 公式 , 即:机动 目录 上页 下页 返回

则

采用 “大化小, 常代变, 近似和, 取极限” 可导出其质心

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将 分成 n 小块, 在第 k 块上任取一点 将第 k 块看作质量集中于点 的质点, 此质点 系的质心坐标就近似该物体的质心坐标. 例如,

∑ξk ρ (ξk ,ηk ,ζ k )vkx≈k =1 n

n

∑ρ (ξk ,ηk ,ζ k )vkk =1

令各小区域的最大直径 λ →0,即得

∫∫∫ xρ (x, y, z) d xd y d z x= ∫∫∫ ρ (x, y, z) d xd y d z机动 目录 上页 下页 返回 结束

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同理可得

∫∫∫ yρ (x, y, z)d xd y d z y= ∫∫∫ ρ (x, y, z)d xd y d z ∫∫∫ zρ (x, y, z)d xd y d z z= ∫∫∫ ρ (x, y, z)d xd y d z, y=

当ρ (x, y, z) ≡ 常 时 则得形心坐标： 数 ,x= z=

∫∫∫ xd xd y d z ∫∫∫V zd x d y d z V

∫∫∫ yd xd y d zV

,

( V = ∫∫∫ d x d y d z为的体积 ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

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若物体为占有xoy 面上区域 D 的平面薄片, 其面密度 则它的质心坐标为