高等数学曲线积分与曲面积分

时间:2025-07-11

第十章 曲线积分与曲面积分

第一节 对弧长的曲线积分

教学目的:了解对弧长曲线积分的概念和性质,理解和掌握对弧

长曲线积分的计算法和应用 教学重点:弧长曲线积分的计算 教学难点:弧长曲线积分的计算 教学内容:

一、对弧长曲线积分的概念与性质 1. 曲线形构件质量

设一构件占xoy面内一段曲线弧L,端点为A,B,线密度 (x,y)连续 求构件质量M。

解(1)将L分割 si i 1,2, ,n (2) (xi,yi) si, Mi (xi,yi) si (3)M

Ao

y

B

x

i 1

n

i

,yi si 图10-1-1

n

(4)M lim

(x,y) s

i

i

i 1

i

s1, s2, , sn} max{

2.定义 L为xoy面内的一条光滑曲线弧,f(x,y)在L上有界,用Mi将L分成n小段 Si,任取一点( i, i) Si i 1,2,3...,n , 作和

n

i 1

f( i, i) Si,令 max{ s1, s2, , sn},当 0时,

n

lim

0

i 1

f( i, i) Si存在,称此极限值为f(x,y)在L上对弧长的曲线积

n

分(第一类曲线积分)记为

L

f(x,y)ds lim f (i ,i S) i

0

i 1

注意:(1)若曲线封闭,积分号f(x,y)ds

(2)若f(x,y)连续,则 f(x,y)ds存在,其结果为一常数.

L

(3)几何意义f(x,y)=1,则 f(x,y)ds=L(L为弧长)

L

(4)物理意义 M= (x,y)ds

L

n

(5)此定义可推广到空间曲线 f(x,z,y)ds=lim f( i, i, i) Si

0

i 1

(6)将平面薄片重心、转动惯量推广到曲线弧上

xds

重心:x

L

yds

,y

L

zds

,z

L

MMM

转动惯量:Ix Io

L

y (x,y)ds, Iy

2

L

x (x,y)ds,

2

(x

L

2

y) (x,y)ds

2

(7)若规定L的方向是由A指向B,由B指向A为负方向,但 f(x,y)ds

L

与L的方向无关

3.对弧长曲线积分的性质

a:设L L1 L2,则 f(x,y)ds= f(x,y)ds+ f(x,y)ds

L

L1

L2

b: [f(x,y) g(x,y])ds= f(x,y)ds

L

L

g x,y ds

L

c: kf(x,y)ds=k

L

L

f(x,y)ds。

二、对弧长曲线积分的计算

定理 设f(x,y)在弧L上有定义且连续,L方程 ( t ), (t), (t)

x (t) y (t)

在[ , ]上具有一阶连续导数,且 2(t) 2(t) 0,则曲线积分

L

f(x,y)ds存在,且 f(x,y)ds= f[ (t), (t)] (t) (t)dt。

L

L

22

说明:从定理可以看出

(1) 计算时将参数式代入f(x,y),ds

[ , ]上计算定积分。

22

(t) (t)dt,在

(2) 注意:下限 一定要小于上限 , < (∵ Si恒大于零,

∴ ti>0)

(3) L:y (x), a x b时,f(x,y)ds= f[x, (x)] [ (x)]dx

ab

2

L

同理L:x (y),c y d时,

d

2

L

f(x,y)ds= f[ (y),y] [ (y)]dy

c

(4) 空间曲线P:x (t),y (t),z (t),

222

f(x,y)ds= f[ (t), (t), (t)] (t) (t) (t)dt

P

例1 计算曲线积分 y,其中L是第一象限内从点A(0,1)到点B(1,0)的

L

yA

单位圆弧 解 (Ⅰ) L:y

2

1 x 0 x 1

B

ds

x

22

1 x

dx

dx x

2

∴ y=

L

1

x

2

dx x

2

1

dx 1

(Ⅱ) 若L是ⅠⅣ象限从A(0,1)到B'(,

2

132

)的单位圆弧

(1) y=

L

yds+

yds

2

ABBB

=

1

x

2

dx x

2

+1 x

2

1

2

dx x

= dx+ 1dx =

2

11

32

图10-1-3

(2) 若L:x y

2

(

32

032

y 1) ds 1

y

22

1 y

y

dy

dy y

2

L

yds=

1

32

y y

2

=

y y

2

dy+

1

y

2

dy

32

(3) L:x cost,y sint

ds

( sint) costdt dt

2

2

3

t

2

L

yds= 2 sintdt= 2sintdt

3

2

2

sintdt

32

4

3

例2 计算 e

L

x y

ds L:r a 0 所围成的边界

解 L OA AB BO 在OA上 y 0 ,0 x a ds dx e

x y

2

2

OA

ds= edx e 1

a

xa

y

B

在AB上 r a 0

2

2

4

ds adx

AB

e

x y

ds= 4ead

a

a

4

e

o

a

A

x

在OB上 y x ds 2dx

2a

x y

22

2x 图10-1-4

e

L

x y

22

OB

2

ds=

2

2

e

2x

2xdx e 1

a

y

∴ e例3 计算解

2

L

x y

a

ds=2(e 1)+

a

4

2

e

a

x yds L:x y

22

ax

o

a

x rcos y rsin

2

L:r acos (

2

2

) 图10-1-5

x y

2

r acos ,ds

2

2

acos 2 asin d ads

2

2

2

L

x yds= 2 acos ad =asin

2

2

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