高等数学曲线积分与曲面积分
时间：2025-07-12
第十章 曲线积分与曲面积分
第一节 对弧长的曲线积分
教学目的：了解对弧长曲线积分的概念和性质，理解和掌握对弧
长曲线积分的计算法和应用 教学重点：弧长曲线积分的计算 教学难点：弧长曲线积分的计算 教学内容：
一、对弧长曲线积分的概念与性质 1． 曲线形构件质量
设一构件占xoy面内一段曲线弧L，端点为A,B，线密度 (x,y)连续 求构件质量M。
解（1）将L分割 si i 1,2, ,n （2） (xi,yi) si， Mi (xi,yi) si （3）M
Ao
y
B
x
i 1
n
i
,yi si 图10-1-1
n
（4）M lim
(x,y) s
i
i
i 1
i
s1, s2, , sn} max{
2．定义 L为xoy面内的一条光滑曲线弧，f(x,y)在L上有界，用Mi将L分成n小段 Si，任取一点( i, i) Si i 1,2,3...,n ， 作和
n
i 1
f( i, i) Si，令 max{ s1, s2, , sn}，当 0时，
n
lim
0
i 1
f( i, i) Si存在，称此极限值为f(x,y)在L上对弧长的曲线积
n
分（第一类曲线积分）记为
L
f(x,y)ds lim f (i ,i S) i
0
i 1
注意：（1）若曲线封闭，积分号f(x,y)ds
（2）若f(x,y)连续，则 f(x,y)ds存在，其结果为一常数.
L
（3）几何意义f(x,y)=1，则 f(x,y)ds=L（L为弧长）
L
（4）物理意义 M= (x,y)ds
L
n
（5）此定义可推广到空间曲线 f(x,z,y)ds=lim f( i, i, i) Si
0
i 1
（6）将平面薄片重心、转动惯量推广到曲线弧上
xds
重心：x
L
yds
，y
L
zds
，z
L
MMM
。
转动惯量：Ix Io
L
y (x,y)ds， Iy
2
L
x (x,y)ds，
2
(x
L
2
y) (x,y)ds
2
（7）若规定L的方向是由A指向B，由B指向A为负方向，但 f(x,y)ds
L
与L的方向无关
3．对弧长曲线积分的性质
a：设L L1 L2，则 f(x,y)ds= f(x,y)ds+ f(x,y)ds
L
L1
L2
b： [f(x,y) g(x,y])ds= f(x,y)ds
L
L
g x,y ds
L
c： kf(x,y)ds=k
L
L
f(x,y)ds。
二、对弧长曲线积分的计算
定理 设f(x,y)在弧L上有定义且连续，L方程 （ t ）， (t), (t)
x (t) y (t)
在[ , ]上具有一阶连续导数，且 2(t) 2(t) 0，则曲线积分
L
f(x,y)ds存在，且 f(x,y)ds= f[ (t), (t)] (t) (t)dt。
L
L
22
说明：从定理可以看出
（1） 计算时将参数式代入f(x,y)，ds
[ , ]上计算定积分。
22
(t) (t)dt，在
（2） 注意：下限 一定要小于上限 ， < （∵ Si恒大于零，
∴ ti>0）
（3） L：y (x), a x b时，f(x,y)ds= f[x, (x)] [ (x)]dx
ab
2
L
同理L：x (y)，c y d时，
d
2
L
f(x,y)ds= f[ (y),y] [ (y)]dy
c
(4) 空间曲线P：x (t)，y (t)，z (t)，
222
f(x,y)ds= f[ (t), (t), (t)] (t) (t) (t)dt
P
例1 计算曲线积分 y，其中L是第一象限内从点A(0,1)到点B(1,0)的
L
yA
单位圆弧 解 (Ⅰ) L：y
2
1 x 0 x 1
B
ds
x
22
1 x
dx
dx x
2
∴ y=
L
1
x
2
dx x
2
1
dx 1
(Ⅱ) 若L是ⅠⅣ象限从A(0,1)到B'(,
2
132
)的单位圆弧
（1） y=
L
yds+
yds
2
ABBB
=
1
x
2
dx x
2
+1 x
2
1
2
dx x
= dx+ 1dx =
2
11
32
图10-1-3
(2) 若L：x y
2
(
32
032
y 1) ds 1
y
22
1 y
y
dy
dy y
2
L
yds=
1
32
y y
2
=
y y
2
dy+
1
y
2
dy
32
(3) L：x cost，y sint
ds
( sint) costdt dt
2
2
3
t
2
，
L
yds= 2 sintdt= 2sintdt
3
2
2
sintdt
32
4
3
例2 计算 e
L
x y
ds L：r a 0 所围成的边界
解 L OA AB BO 在OA上 y 0 ，0 x a ds dx e
x y
2
2
OA
ds= edx e 1
a
xa
y
B
在AB上 r a 0
2
2
4
ds adx
AB
e
x y
ds= 4ead
a
a
4
e
o
a
A
x
在OB上 y x ds 2dx
2a
x y
22
2x 图10-1-4
e
L
x y
22
OB
2
ds=
2
2
e
2x
2xdx e 1
a
y
∴ e例3 计算解
2
L
x y
a
ds=2(e 1)+
a
4
2
e
a
x yds L：x y
22
ax
o
a
x rcos y rsin
2
L：r acos (
2
2
) 图10-1-5
x y
2
r acos ，ds
2
2
acos 2 asin d ads
2
2
2
∴
L
x yds= 2 acos ad =asin
2
2
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