历年数列高考题汇编

时间:2025-04-02

历年高考真题汇编---数列(含)

1、(2011年新课标卷文)

13

1 an

(I)Sn为{an}的前n项和,证明:Sn

2

已知等比数列{an}中,a1 ,公比q .

13

(II)设bn log3a1 log3a2 log3an,求数列{bn}的通项公式.

13

13

解:(Ⅰ)因为an ()n 1

1 an

, 2

111(1 n)1 n

13 3, n.Sn 3

123

1 3

所以Sn

(Ⅱ)bn log3a1 log3a2 log3an (1 2 ....... n)

n(n 1)

2

n(n 1)

. 2

所以{bn}的通项公式为bn

2、(2011全国新课标卷理)

等比数列 an 的各项均为正数,且2a1 3a2 1,a32 9a2a6. (1)求数列 an 的通项公式.

(2)设 bn log3a1 log3a2 ...... log3an,求数列 的前项和. 解:(Ⅰ)设数列{an}的公比为q,由a32 9a2a6得a33 9a42所以q2 。有条件可知a>0,故q 。

由2a1 3a2 1得2a1 3a2q 1,所以a1 。故数列{an}的通项式为an=

1

。 n3

13

13

19

1 bn

(Ⅱ )bn log1a1 log1a1 ... log1a1

(1 2 ... n)n(n 1)

2

1211 2( ) bnn(n 1)nn 1

111111112n

... 2((1 ) ( ) ... ( ))

b1b2bn223nn 1n 1

所以数列{的前n项和为 3、(2010新课标卷理)

1

bn

2n

n 1

设数列 an 满足a1 2,an 1 an 3 22n 1 (1) 求数列 an 的通项公式; (2) 令bn nan,求数列的前n项和Sn

解(Ⅰ)由已知,当n≥1时,an 1 [(an 1 an) (an an 1) (a2 a1)] a1

3(22n 1 22n 3 2) 2 22(n 1) 1。

而 a1 2,所以数列{an}的通项公式为an 22n 1。 (Ⅱ)由bn nan n 22n 1知

Sn 1 2 2 23 3 25 n 22n 1 ①

35

2 2 2 3 7 2 n 从而 22 Sn 1

n 2

2 ②

①-②得 (1 22) Sn 2 23 25 22n 1 n 22n 1 。 即 Sn [(3n 1)22n 1 2] 4、(20I0年全国新课标卷文) 设等差数列 an 满足a3 5,a10 9。 (Ⅰ)求 an 的通项公式;

(Ⅱ)求 an 的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值。

1

9

解:(1)由am = a1 +(n-1)d及a1=5,a10=-9得

解得数

{

a1 2d 5a1 9d 9

{d 2

{an}

n(n 1)

d=10n-n2。 2

a1 9

an=11-2n。 ……..6分 (2)由(1) 知Sn=na1+

因为Sn=-(n-5)2+25.

所以n=5时,Sn取得最大值。 5、(2011年全国卷)

设数列 an 的前N项和为Sn,已知a2 6,6a1 a2 30,求an和Sn

6、( 2011辽宁卷)

已知等差数列{an}满足a2=0,a6+a8=-10 (I)求数列{an}的通项公式; (II)求数列

an

的前n 1 2

n项和.

a1 d 0,

解:(I)设等差数列{an}的公差为d,由已知条件可得

2a 12d 10, 1

解得

a1 1,

d 1.

故数列{an}的通项公式为an 2 n. ………………5分

(II)设数列anana2

,即的前n项和为SS a ,故S1 1, nn1

22n 12n 1

Sna1a2a

n. n2242

所以,当n 1时,

Sna aaa a1

a1 2 nn 1n 1 n2222n

1112 n

1 ( n 1 n)

2422

12 n

1 (1 n 1) n

22

=

nn所以.S . nnn 122

ann

的前n项和S . nn 1n 122

综上,数列{

7、(2010年陕西省)

已知{an}是公差不为零的等差数列,a1=1,且a1,a3,a9成等比数列.(Ⅰ)求数列{an}的通项;

(Ⅱ)求数列{2an}的前n项和Sn.

解 (Ⅰ)由题设知公差d≠0, 由a1=1,a1,a3,a9成等比数列得

1 2d1 8d

=, 11 2d

解得d=1,d=0(舍去), 故{an}的通项an=1+(n-1)×1

=n.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知2a=2n,由等比数列前n项和公式得

m

2(1 2n)n+1

Sn=2+2+2+…+2==2-2

1 2

2

3

n

8、(2009年全国卷)

设等差数列{an}的前n项和为sn,公比是正数的等比数列{bn}的前n项

和为Tn,已知a1 1,b1 3,a3 b3 17,T3 S3 12,求{an},{bn}的通项公式。 解: 设 an 的公差为d, bn 的公比为q

由a3 b3 17得1 2d 3q2 17 ① 由T3 S3 12得q2 q d 4 ② 由①②及q 0解得 q 2,d 2 故所求的通项公式为 an 2n 1,bn 3 2n 1 9、(2011福建卷)

已知等差数列{an}中,a1=1,a3=-3. (I)求数列{an}的通项公式;

(II)若数列{an}的前k项和Sk=-35,求k的值.

10、(2011重庆卷)

是公比为正数的等比数列,

,

.

(Ⅰ)求(Ⅱ)设前项和.

的通项公式;

是首项为1,公差为2的等差数列,求数列

11、(2011浙江卷)

已知公差不为0的等差数列{an}的首项为a(a R),且

等比数列.

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)对n N*,试比较

11111

2 3 ... n与的大小. a2a2a2a1a2

111

,,成a1a2a4

解:设等差数列{an}的公差为d,由题意可知()2

即(a1 d)2 a1(a1 3d),从而a1d d2

d 0所以

,1

d

a .

a

1

a211 a1a4

因为

故通项公式an na.

111 ,因为a2n 2na a2a22a2n

(Ⅱ)解:记Tn

11

(1 ()n)

1111111所以Tn ( 2 n) [1 ()n]

1a22aa22

1 2

从而,当a 0时,Tn

11;当a 0时,Tn . a1a1

12、(2011湖北卷)

成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列 bn 中的b、b、b。 (I) 求数列 bn 的通项公式;

(II) 数列 bn 的前n项和为Sn,求证:数列 Sn 是等比数列。

5

4

13、(2010年山东卷)

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