历年数列高考题汇编
时间:2025-04-02
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历年高考真题汇编---数列(含)
1、(2011年新课标卷文)
13
1 an
(I)Sn为{an}的前n项和,证明:Sn
2
已知等比数列{an}中,a1 ,公比q .
13
(II)设bn log3a1 log3a2 log3an,求数列{bn}的通项公式.
13
13
解:(Ⅰ)因为an ()n 1
1 an
, 2
111(1 n)1 n
13 3, n.Sn 3
123
1 3
所以Sn
(Ⅱ)bn log3a1 log3a2 log3an (1 2 ....... n)
n(n 1)
2
n(n 1)
. 2
所以{bn}的通项公式为bn
2、(2011全国新课标卷理)
等比数列 an 的各项均为正数,且2a1 3a2 1,a32 9a2a6. (1)求数列 an 的通项公式.
(2)设 bn log3a1 log3a2 ...... log3an,求数列 的前项和. 解:(Ⅰ)设数列{an}的公比为q,由a32 9a2a6得a33 9a42所以q2 。有条件可知a>0,故q 。
由2a1 3a2 1得2a1 3a2q 1,所以a1 。故数列{an}的通项式为an=
1
。 n3
13
13
19
1 bn
(Ⅱ )bn log1a1 log1a1 ... log1a1
(1 2 ... n)n(n 1)
2
故
1211 2( ) bnn(n 1)nn 1
111111112n
... 2((1 ) ( ) ... ( ))
b1b2bn223nn 1n 1
所以数列{的前n项和为 3、(2010新课标卷理)
1
bn
2n
n 1
设数列 an 满足a1 2,an 1 an 3 22n 1 (1) 求数列 an 的通项公式; (2) 令bn nan,求数列的前n项和Sn
解(Ⅰ)由已知,当n≥1时,an 1 [(an 1 an) (an an 1) (a2 a1)] a1
3(22n 1 22n 3 2) 2 22(n 1) 1。
而 a1 2,所以数列{an}的通项公式为an 22n 1。 (Ⅱ)由bn nan n 22n 1知
Sn 1 2 2 23 3 25 n 22n 1 ①
35
2 2 2 3 7 2 n 从而 22 Sn 1
n 2
2 ②
①-②得 (1 22) Sn 2 23 25 22n 1 n 22n 1 。 即 Sn [(3n 1)22n 1 2] 4、(20I0年全国新课标卷文) 设等差数列 an 满足a3 5,a10 9。 (Ⅰ)求 an 的通项公式;
(Ⅱ)求 an 的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值。
1
9
解:(1)由am = a1 +(n-1)d及a1=5,a10=-9得
解得数
{
a1 2d 5a1 9d 9
{d 2
列
{an}
的
通
项
公
式
为
n(n 1)
d=10n-n2。 2
a1 9
an=11-2n。 ……..6分 (2)由(1) 知Sn=na1+
因为Sn=-(n-5)2+25.
所以n=5时,Sn取得最大值。 5、(2011年全国卷)
设数列 an 的前N项和为Sn,已知a2 6,6a1 a2 30,求an和Sn
6、( 2011辽宁卷)
已知等差数列{an}满足a2=0,a6+a8=-10 (I)求数列{an}的通项公式; (II)求数列
an
的前n 1 2
n项和.
a1 d 0,
解:(I)设等差数列{an}的公差为d,由已知条件可得
2a 12d 10, 1
解得
a1 1,
d 1.
故数列{an}的通项公式为an 2 n. ………………5分
(II)设数列anana2
,即的前n项和为SS a ,故S1 1, nn1
22n 12n 1
Sna1a2a
n. n2242
所以,当n 1时,
Sna aaa a1
a1 2 nn 1n 1 n2222n
1112 n
1 ( n 1 n)
2422
12 n
1 (1 n 1) n
22
=
nn所以.S . nnn 122
ann
的前n项和S . nn 1n 122
综上,数列{
7、(2010年陕西省)
已知{an}是公差不为零的等差数列,a1=1,且a1,a3,a9成等比数列.(Ⅰ)求数列{an}的通项;
(Ⅱ)求数列{2an}的前n项和Sn.
解 (Ⅰ)由题设知公差d≠0, 由a1=1,a1,a3,a9成等比数列得
1 2d1 8d
=, 11 2d
解得d=1,d=0(舍去), 故{an}的通项an=1+(n-1)×1
=n.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知2a=2n,由等比数列前n项和公式得
m
2(1 2n)n+1
Sn=2+2+2+…+2==2-2
1 2
2
3
n
8、(2009年全国卷)
设等差数列{an}的前n项和为sn,公比是正数的等比数列{bn}的前n项
和为Tn,已知a1 1,b1 3,a3 b3 17,T3 S3 12,求{an},{bn}的通项公式。 解: 设 an 的公差为d, bn 的公比为q
由a3 b3 17得1 2d 3q2 17 ① 由T3 S3 12得q2 q d 4 ② 由①②及q 0解得 q 2,d 2 故所求的通项公式为 an 2n 1,bn 3 2n 1 9、(2011福建卷)
已知等差数列{an}中,a1=1,a3=-3. (I)求数列{an}的通项公式;
(II)若数列{an}的前k项和Sk=-35,求k的值.
10、(2011重庆卷)
设
是公比为正数的等比数列,
,
.
(Ⅰ)求(Ⅱ)设前项和.
的通项公式;
是首项为1,公差为2的等差数列,求数列
的
11、(2011浙江卷)
已知公差不为0的等差数列{an}的首项为a(a R),且
等比数列.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)对n N*,试比较
11111
2 3 ... n与的大小. a2a2a2a1a2
111
,,成a1a2a4
解:设等差数列{an}的公差为d,由题意可知()2
即(a1 d)2 a1(a1 3d),从而a1d d2
d 0所以
,1
d
a .
a
1
a211 a1a4
因为
故通项公式an na.
111 ,因为a2n 2na a2a22a2n
(Ⅱ)解:记Tn
11
(1 ()n)
1111111所以Tn ( 2 n) [1 ()n]
1a22aa22
1 2
从而,当a 0时,Tn
11;当a 0时,Tn . a1a1
12、(2011湖北卷)
成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列 bn 中的b、b、b。 (I) 求数列 bn 的通项公式;
(II) 数列 bn 的前n项和为Sn,求证:数列 Sn 是等比数列。
5
4
13、(2010年山东卷)
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