历年高考真题汇编---数列（含）

1、(2011年新课标卷文)

13

1 an

（I）Sn为{an}的前n项和，证明：Sn

2

已知等比数列{an}中，a1 ，公比q ．

13

（II）设bn log3a1 log3a2 log3an，求数列{bn}的通项公式．

13

13

解：（Ⅰ）因为an ()n 1

1 an

, 2

111(1 n)1 n

13 3, n.Sn 3

123

1 3

所以Sn

（Ⅱ）bn log3a1 log3a2 log3an (1 2 ....... n)

n(n 1)

2

n(n 1)

. 2

所以{bn}的通项公式为bn

2、(2011全国新课标卷理）

等比数列 an 的各项均为正数，且2a1 3a2 1,a32 9a2a6. （1）求数列 an 的通项公式.

(2)设 bn log3a1 log3a2 ...... log3an,求数列 的前项和. 解：（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，由a32 9a2a6得a33 9a42所以q2 。有条件可知a>0,故q 。

由2a1 3a2 1得2a1 3a2q 1，所以a1 。故数列{an}的通项式为an=

1

。 n3

13

13

19

1 bn

（Ⅱ ）bn log1a1 log1a1 ... log1a1

(1 2 ... n)n(n 1)

2

故

1211 2( ) bnn(n 1)nn 1

111111112n

... 2((1 ) ( ) ... ( ))

b1b2bn223nn 1n 1

所以数列{的前n项和为 3、（2010新课标卷理）

1

bn

2n

n 1

设数列 an 满足a1 2,an 1 an 3 22n 1 （1） 求数列 an 的通项公式； （2） 令bn nan，求数列的前n项和Sn

解（Ⅰ）由已知，当n≥1时，an 1 [(an 1 an) (an an 1) (a2 a1)] a1

3(22n 1 22n 3 2) 2 22(n 1) 1。

而 a1 2,所以数列{an}的通项公式为an 22n 1。 （Ⅱ）由bn nan n 22n 1知

Sn 1 2 2 23 3 25 n 22n 1 ①

35

2 2 2 3 7 2 n 从而 22 Sn 1

n 2

2 ②

①-②得 (1 22) Sn 2 23 25 22n 1 n 22n 1 。 即 Sn [(3n 1)22n 1 2] 4、（20I0年全国新课标卷文） 设等差数列 an 满足a3 5，a10 9。 （Ⅰ）求 an 的通项公式；

（Ⅱ）求 an 的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值。

1

9

解：（1）由am = a1 +（n-1）d及a1=5，a10=-9得

解得数

{

a1 2d 5a1 9d 9

{d 2

列

{an}

的

通

项

公

式

为

n(n 1)

d=10n-n2。 2

a1 9

an=11-2n。 ……..6分 (2)由(1) 知Sn=na1+

因为Sn=-(n-5)2+25.

所以n=5时，Sn取得最大值。 5、（2011年全国卷）

设数列 an 的前N项和为Sn,已知a2 6,6a1 a2 30,求an和Sn

6、（ 2011辽宁卷）

已知等差数列{an}满足a2=0，a6+a8=-10 （I）求数列{an}的通项公式； （II）求数列

an

的前n 1 2

n项和．

a1 d 0,

解：（I）设等差数列{an}的公差为d，由已知条件可得

2a 12d 10, 1

解得

a1 1,

d 1.

故数列{an}的通项公式为an 2 n. ………………5分

（II）设数列anana2

，即的前n项和为SS a ,故S1 1， nn1

22n 12n 1

Sna1a2a

n. n2242

所以，当n 1时，

Sna aaa a1

a1 2 nn 1n 1 n2222n

1112 n

1 ( n 1 n)

2422

12 n

1 (1 n 1) n

22

=

nn所以.S . nnn 122

ann

的前n项和S . nn 1n 122

综上，数列{

7、（2010年陕西省）

已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列.（Ⅰ）求数列{an}的通项;

（Ⅱ）求数列{2an}的前n项和Sn.

解 （Ⅰ）由题设知公差d≠0， 由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列得

1 2d1 8d

＝， 11 2d

解得d＝1，d＝0（舍去）， 故{an}的通项an＝1+（n－1）×1

＝n.

(Ⅱ)由（Ⅰ）知2a=2n，由等比数列前n项和公式得

m

2(1 2n)n+1

Sn=2+2+2+…+2==2-2

1 2

2

3

n

8、（2009年全国卷）

设等差数列{an}的前n项和为sn，公比是正数的等比数列{bn}的前n项

和为Tn，已知a1 1,b1 3,a3 b3 17,T3 S3 12,求{an},{bn}的通项公式。 解： 设 an 的公差为d， bn 的公比为q

由a3 b3 17得1 2d 3q2 17 ① 由T3 S3 12得q2 q d 4 ② 由①②及q 0解得 q 2,d 2 故所求的通项公式为 an 2n 1,bn 3 2n 1 9、（2011福建卷）

已知等差数列{an}中，a1=1，a3=-3. （I）求数列{an}的通项公式；

（II）若数列{an}的前k项和Sk=-35，求k的值.

10、（2011重庆卷）

设

是公比为正数的等比数列，

,

.

(Ⅰ)求(Ⅱ)设前项和.

的通项公式;

是首项为1，公差为2的等差数列，求数列

的

11、（2011浙江卷）

已知公差不为0的等差数列{an}的首项为a(a R)，且

等比数列．

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）对n N*，试比较

11111

2 3 ... n与的大小． a2a2a2a1a2

111

，，成a1a2a4

解：设等差数列{an}的公差为d，由题意可知()2

即(a1 d)2 a1(a1 3d)，从而a1d d2

d 0所以

,1

d

a .

a

1

a211 a1a4

因为

故通项公式an na.

111 ,因为a2n 2na a2a22a2n

（Ⅱ）解：记Tn

11

(1 ()n)

1111111所以Tn ( 2 n) [1 ()n]

1a22aa22

1 2

从而，当a 0时，Tn

11；当a 0时,Tn . a1a1

12、（2011湖北卷）

成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列 bn 中的b、b、b。 (I) 求数列 bn 的通项公式；

(II) 数列 bn 的前n项和为Sn，求证：数列 Sn 是等比数列。

5

4

13、（2010年山东卷）

已知等差数列 an 满足：a3 7，a5 a7 26， an 的前n项和为Sn （Ⅰ）求an及Sn； （Ⅱ）令bn

1*

n N（），求数列 bn 的前n项和为Tn。 2

an 1

解：（Ⅰ）设等差数列 an 的首项为a1，公差为d， 由于a3 7，a5 a7 26，所以a1 2d 7，2a1 10d 26， 解得a1 3，d 2，由于an a1 (n 1)d，Sn 所以an 2n 1，Sn n(n 2)

n(a1 an)

， 2

（Ⅱ）因为an 2n 1，所以an2 1 4n(n 1) 因此bn

1111

( )

4n(n 1)4nn 1

故Tn b1 b2 bn (1

141212131n1) n 1

nn11

所以数列 bn 的前n项和Tn (1 )

4(n 1)4n 14(n 1)

14、（2010陕西卷）

已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列.（Ⅰ）求数列{an}的通项;

（Ⅱ）求数列{2an}的前n项和Sn.

解 （Ⅰ）由题设知公差d≠0，

由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列得

1 2d1 8d

＝， 11 2d

解得d＝1，d＝0（舍去）， 故{an}的通项an＝1+（n－1）×1

＝n.

(Ⅱ)由（Ⅰ）知2a=2n，由等比数列前n项和公式得

m

2(1 2n)n+1

Sm=2+2+2+…+2==2-2.、

1 2

2

3

n

15、（2010重庆卷）

已知 an 是首项为19，公差为-2的等差数列，Sn为 an 的前n项和. （Ⅰ）求通项an及Sn；

（Ⅱ）设 bn an 是首项为1，公比为3的等比数列，求数列 bn 的通项公式及其前n项和Tn.

16、（2010北京卷）

已知|an|为等差数列，且a3 6，a6 0。 （Ⅰ）求|an|的通项公式；

（Ⅱ）若等差数列|bn|满足b1 8，b2 a1 a2 a3，求|bn|的前n项和公式

解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差d。

a1 2d 6 因为a3 6,a6 0 所以 解得

a 5d 0 1a1 10,d 2

所以an 10 (n 1) 2 2n 12

（Ⅱ）设等比数列{bn}的公比为q 因为

b2 a1 a2 a3 24 ,b 8

所以 8q 24 即q=3

b1(1 qn)

4(1 3n) 所以{bn}的前n项和公式为Sn

1 q

17、（2010浙江卷）

设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数{an}的前n项和为Sn，满足S2S6＋15＝0.

（Ⅰ）若S5＝S.求Sn及a1; （Ⅱ）求d的取值范围. 解：(Ⅰ)由题意知S0=所以

-15

-3,a=S-S=-8 S5

Sa1 10d 5,

解得a1=7所以S=-3,a1=7

a1 5d 8.

(Ⅱ)因为SS+15=0,所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,即

2a12+9da1+10d2+1=0.

故(4a1+9d)2=d2-8. 所以d2≥8.故d的取值范围为d≤

18、（2010四川卷）

已知等差数列{an}的前3项和为6，前8项和为-4。 （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设

bn (4 an)qn 1(q 0,n N*)

，求数列{bn}的前n项和S

n

Ⅱ）由（Ⅰ）得解答可得， 若

bn n qn 1

，于是 ．

乘以

q

有

Sn 1 q0 2 q1 3 q2 n qn 1

q 1

，将上式两边同

．

qSn 1 q1 2 q2 n 1 qn 1 n qn

两式相减得到

q 1 Sn n qn 1 q1 q2 qn 1

nqn 1 n 1 qn 1qn 1 nq

q 1q 1 ．

n

Sn

nqn 1 n 1 qn 1

于是若q 1，则

q 1

2

．

n n 1 2

Sn 1 2 3 n

．

n n 1

, q 1 ,

2Sn n 1

nq n 1 qn 1 , q 1 .2 q 1 所以，…………………………………（12分）

19、（2010上海卷）

已知数列 an 的前n项和为Sn，且Sn n 5an 85，n N* 证明： an 1 是等比数列；

解：由Sn n 5an 85,n N* （1） 可得：a1 S1 1 5a1 85，即a1 14。

同时 Sn 1 (n 1) 5an 1 85 （2） 从而由(2) (1)可得：an 1 1 5(an 1 an)

即：an 1 1 (an 1),n N*，从而{an 1}为等比数列，首项a1 1 15，公比为，通项公式为an 1 15*()n 1，从而an 15*()n 1 1 20、（2009辽宁卷）

等比数列{an}的前n 项和为sn，已知S1,S3,S2成等差数列 （1）求{an}的公比q； （2）求a1-a3=3，求sn

2

a (a aq) 2(a aq aq) 111111解：（Ⅰ）依题意有

5

6

565656

由于 a1 0，故

22q q 0

又q 0，从而

q －

1

2

12

a1 a（ ） 31

2 （Ⅱ）由已知可得

故a1 4

1n

（41 （ ））

81nSn 1 （ ））

1321 （ ）

2 从而