三角函数解题技巧和公式(已整理)技巧归纳
时间：2025-07-12
三角函数解题技巧和公式(已整理)技巧归纳
浅论关于三角函数的几种解题技巧
本人在十多年的职中数学教学实践中，面对三角函数内容的相关教学时，积累了一些解题方面的处理技巧以及心得、体会。下面尝试进行探讨一下： 一、关于sin cos 与sin cos (或sin2 )的关系的推广应用：
2
1、由于(s i cno )2s si2 n co s 2si cno s1 2si cno s故知道
(s i nco )s，必可推出sin cos (或sin2 )，例如：
例1 已知sin cos
3
,求sin3 cos3 。 3
分析：由于sin3 cos3 (sin cos )(sin2 sin cos cos2 )
(sin cos )[(sin cos )2 3sin cos ]
其中，sin cos 已知，只要求出sin cos 即可，此题是典型的知sin -cos ，求sin cos 的题型。
解：∵(sin cos )2 1 2sin cos 故：1 2sin cos (
211) sin cos 333
sin3 cos3 (sin cos )[(sin cos )2 3sin cos ]
31314[()2 3 ] 333339
2、关于tg +ctg 与sin ±cos ，sin cos 的关系应用：
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sin cos sin2 cos2 1
由于tg +ctg =
cos sin sin cos sin cos
故：tg +ctg ，sin cos ，sin cos 三者中知其一可推出其余式子的值。
例2 若sin +cos =m2，且tg +ctg =n，则m2 n的关系为（ ）。
A．m=n B．m=
2
2
222 1 C．m2 D．n 2 nnm
分析：观察sin +cos 与sin cos 的关系：
(sin cos )2 1m2 1
sin cos =
22
而：tg ctg
1
n
sin cos
m2 112故： m2 1，选B。
2nn
例3 已知：tg +ctg =4，则sin2 的值为（ ）。
1111
A． B． C． D．
2424
11
4 sin cos 分析：tg +ctg =
sin cos 4
1
故：sin2 2sin cos sin2 。 答案选A。
2
例4 已知：tg +ctg =2，求sin4 cos4
分析：由上面例子已知，只要sin4 cos4 能化出含sin ±cos 或sin cos 的式子，则即可根据已知tg +ctg 进行计算。由于tg +ctg =
sin cos
1
2
sin cos
1
，此题只要将sin4 cos4 化成含sin cos 的式子即可： 2
解：sin4 cos4 =sin4 cos4 +2 sin2 cos2 -2 sin2 cos2
=（sin2 +cos2 ）- 2 sin2 cos2 =1-2 (sin cos )2
1
=1-2 ()2
21
=1
21
=
2
通过以上例子，可以得出以下结论：由于sin cos ，sin cos 及tg +ctg 三者之间可以互化，知其一则必可知其余二。这种性质适合于隐含此三项式子的三角式的计算。
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但有一点要注意的；如果通过已知sin cos ，求含sin cos 的式子，必须讨论其象限才能得出其结果的正、负号。这是由于（sin cos ）2=1±2sin cos ，要进行开方运算才能求出sin cos
二、关于“托底”方法的应用：
在三角函数的化简计算或证明题中，往往需要把式子添加分母，这常用在需把含tg （或ctg ）与含sin （或cos ）的式子的互化中，本文把这种添配分母的方法叫做“托底”法。方法如下：
sin 3cos
例5 已知：tg =3，求的值。
2sin cos sin
分析：由于tg ，带有分母cos ，因此，可把原式分子、分母各项除以
cos
cos ，“造出”tg ，即托出底：cos ；
解：由于tg =3 k cos 0
2
sin cos
3
tg 3 3 3 0 故，原式=sincos2tg 12 3 12
cos cos
例6 已知：ctg = -3，求sin cos -cos2 =?
cos cos
分析：由于ctg ，故必将式子化成含有的形式，而此题与例4有所不同，
sin sin 式子本身没有分母，为了使原式先出现分母，利用公式：sin2 cos2 1及托底法托出其分母，然后再分子、分母分别除以sin ，造出ctg ：
sin cos cos2
解：sin cos 1 sin cos cos
sin2 cos2
2
2
2
cos cos 2
()
ctg ctg2 2分子,分母同除以sin 2cos21 ctg 1 ()
sin
3 ( 3)26
2
51 ( 3)
例7 （95年全国成人高考理、工科数学试卷）
设0 x ,0 y ，且sinxsiny sin( x)sin( y)
2236求：(ctgx
)(ctgy 3)的值 3
分析：此题是典型已知含正弦函数的等式求含正切、余切的式子，故要用“托底法”，
由于0 x ,0 y ，故sinx 0,siny 0，在等式两边同除以sinxsiny，托出分母
22
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sinxsiny为底，得：
解：由已知等式两边同除以sinxsiny得：
sin( x)sin( y)sincos cossinxsincosy cossiny
1 1
sinxsinysinxsiny
1cosx sinxcosy 3siny
14sinxsiny1
(ctgx 1)(ctgy ) 1
4
3 (ctgx )(ctgy ) 1
43
4
(ctgx )(ctgy ) 33
“托底”适用于通过同角的含正弦及余弦的式子与含正切、余切的式子的互化的计算。
sin cos
由于tg ，ctg ，即正切、余切与正弦、余弦间是比值关系，故它们间的互
cos sin
化需“托底”，通过保持式子数值不变的情况下添加分母的方法，使它们之间可以互相转化，达到根据已知求值的目的。而添加分母的方法主要有两种：一种利用
sin2 cos2 1，把sin2 cos2 作为分母，并不改变原式的值，另一种是通过等式两边同时除以正弦或余弦又或者它们的积，产生分母。
三、关于形如：acosx bsinx的式子，在解决三角函数的极值问题时的应用：
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