2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课时作业：选修4-4 坐标系与参数方程]

章末高频考点

高频考点1 极坐标与直角坐标的互化

1．(2013·苏州模拟)在极坐标系下，已知圆O2：ρ＝cos θ＋sin θ和 2π

直线l：ρsin(θ－).

42

(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；

(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标． 解析 (1)圆O：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ＝ρcos θ＋ρ sin θ， 圆O的直角坐标方程为：x＋y＝x＋y， 即x＋y－x－y＝0，

2π

直线l：ρsin(θ－＝ρsin θ－ρcos θ＝1，

42则直线l的直角坐标方程为：y－x＝1，即x－y＋1＝0.

x＋y－x－y＝0，

(2)由

x－y＋1＝0

2

2

2

2

2

2

2

得

x＝0， y＝1，

π故直线l与圆O公共点的一个极坐标为(1，)．

2高频考点2 参数方程与普通方程的互化

x＝3＋tcos α

2．(2013·常德模拟)设直线l的参数方程为

y＝4＋tsin α

x＝1＋2cos θ，

的参数方程为

y＝－1＋2sin θ

(t为参数，α为倾斜角)，圆C

(θ为参数)．

(1)若直线l经过圆C的圆心，求直线l的斜率；

(2)若直线l与圆C交于两个不同的点，求直线l的斜率的取值范围． 解析 (1)由已知得直线l经过的定点是P(3,4)，而圆C的圆心是C(1，－1)， 5

所以，当直线l经过圆C的圆心时，直线l的斜率为k；

2

x＝1＋2cos θ，

(2)解法一：由圆C的参数方程

y＝－1＋2sin θ

得圆C的圆心是C(1，－1)，半径为

2. 由直线l

x＝3＋tcos α，

的参数方程为

y＝4＋tsin α

(t为参数，α为倾斜角)，知直线l的普通

方程为y－4＝k(x－3)(斜率存在)， 即kx－y＋4－3k＝0.

当直线l与圆C交于两个不同的点时，圆心到直线的距离小于圆的半径，

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即

|5－2k|21

，由此解得k>20k＋1

21

即直线l的斜率的取值范围为(∞)．

20

解法二：将圆C的参数方程为

2

x＝1＋2cos θ，

y＝－1＋2sin θ，

2

化成普通方程为(x－1)＋(y＋1)＝4，① 将直线l的参数方程代入①式，得

t2＋2(2cos α＋5sin α)t＋25＝0.②

当直线l与圆C交于两个不同的点时， 方程②有两个不相等的实根， 即Δ＝4(2 cos α＋5sin α)－100>0， 即20sin αcos α>21cos α，

212

两边同除以cos α，由此解得tan α>

2021

即直线l的斜率的取值范围为(∞)．

20高频考点3 极坐标与参数方程的综合应用

2

x＝2＋， 2

3．(2013·哈尔滨质测)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为

2

y＝1t 2

2

2

(t

为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x122

轴正半轴为极轴)中，曲线C的方程为ρ.

3cos θ＋4sinθ(1)求曲线C的直角坐标方程；

(2)设曲线C与直线l交于点A，B，若点P的坐标为(2,1)，求|PA|＋|PB|. 12222

解析 (1)由ρ，得3x＋4y＝12， 22

3cos θ＋4sin θ即＝1. 43

(2)将l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程， 得3(2＋

2227

)＋4(1＋t)2＝12.t2＋2t＋4＝0. 222

x2y2

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由于Δ＝2)－4×4＝144>0，

2故可设t1，t2是上述方程的两实根， 20

t＋t＝－ 7所以

8tt＝， 7

1

2

12

2

，

又直线l过点P，故由上式及t的几何意义得 2|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝－(t1＋t2)＝.

7