一阶常微分方程模型

几个常微分方程的模型

一阶常微分方程模型

几个常微分方程的模型

人口模型 指数增长模型(Malthus模型) 1798年Malthus提出了著名的人口指数增长模 型，这个模型的基本假设是：人口的增长率 为 常数，即单位时间内人口的增长量与当时 的人口成正比。记时刻t的人口为x(t ), 当考察一个国家的人口时，x (t ) 很大，可当作连续变量考虑，设x(0) x0 , 人口增长率 为常数r , 则 x(t t ) x(t ) rx(t ) t ,

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于是x(t )满足微分方程

dx rx dt x(0) x0

解得

x(t ) x0ert,当r 0时，该解表明人口将

按指数规律无限增长。模型适用于：人口增长率长期稳定不变的国家和地区 模型的缺陷：人口爆炸 Malthus的解决办法：战争和瘟疫

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Logistic模型(阻滞增长模型)假设人口增长率是人口 x 的减函数，最简单的假设 x 是r ( x) r (1 )为 x 的线性函数，其中r 称为固有增 xm 长率，xm 表示自然资源所容纳的最大人口数量，此式 说明r ( xm ) 0, 因此有

x dx r (1 ) x xm ( 1) dt x(0) x 0 这个模型称为阻滞增长模型(或Logistic模型)

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这是一个Bernoulli方程，令 z x ,dz r 则方程化为 rz , 运用一阶线性非齐次方程的 dt xm 解题方法可得 z (t ) Ce rt

1

1 xm

即 x(t )

1 Ce rt

, 再由初值条件可得 1 xm

x(t )

xm xm rt 1 ( 1)e x0

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20世纪初美国曾用这一模型预测人口，取x0 3.9 106 (1790年人口), r 0.31, xm 197 106直到1930年计算结果都能与实际数据较好地吻合，后来的 误差就越来越大，原因是到1960年美国实际人口已大于 xm , 这是因为随着科学技术的进步，一个国家能容纳的最大 人口数也是可以改变的。

Logistic模型也适合描述商品销售状况，在自然推销的 销售方式，即无广告宣传费(口碑相传)的方式下，设 x表示时刻t已售出的商品量，xm 表示商品的最大需求量， r表示t 0时销售量的增长率，则商品销售量也满足( 1)。

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传染病模型一、(SI模型) 不考虑病人治愈的传染模型 模型假设：为简单起见，总人数N不变

1 人群分为易感染者和已感染者，时刻t这两类人数分别为s(t )和i(t )。(2)每个病人每天有效接触的平均人数是常数 , 成为日接触率，健康者只要被病人有效接触就立即 变成病人。

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模型建立由假设(2),第t天每个病人可使 s (t ) / N 个健康者 变为病人，共有 i (t ) s(t ) / N 个健康者被感染，即有 di is , N dt

又因为s(t ) i (t ) N , 记i (0) i0 , 则有 i di i(1 ) N dt i (0) i0

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这就是上节出现的Logistic模型，解得 N t 1 i(t ) N [1 ( 1)e ]

i0i N 模型分析：因为g (i ) i (1 )的最大值点为i , N 2 N di di 所以当i 时 达最大值( ) m,这个时刻为 2 dt dt N 1 tm ln( 1) (*) i0

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模型检验(1)(*)是中的tm就是病人增加最快的时刻，即传染病 的高峰期， (*)式说明tm与 成反比，因为日接触率 代表该地区的卫生水平， 越小卫生水平越高，这说 明改善卫生环境可以推迟传染病高峰期的到来。

(2)t 时，i N ,即最后全是病人，这是该 模型的 缺点，原因是没有考虑病人可以治愈。

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二、(SIS模型) 病人可以治愈但无免疫力的传 染病模型 模型假设(1),(2)条件同SI 模型。 (3) 病人每天被治愈的占病人总数的比例为 ,称为 日治愈率， 病人治愈后成为仍可被感染的健康者。 模型建立 由假设(3), SI 模型应改为

di si / N i dt i (0) i0

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解得

N ( ) t 1 N [ ( ) e ] , i0 i (t ) N ( t N ) 1 , i0

定义 / , 则可知 1 (1 ) N , 1, i ( ) 1 0,

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模型检验由 的定义和 是传染病的平均传染期，由 的 1

定义和 是一个传染期内每个病人有效接触 的平均人数，称为接触数。 1是一个阈值， 当 1时病人i(t )单调下降趋于零，当 1时i (t )的增减性与i0有关，但 lim i (t ) (1 t

1

)N

是 的增函数。