第11卷第3期2002年9月

河南教育学院学报(自然科学版)

JournalofHenanEducationInstitute(NaturalScience)

Vol.11No.3Sep.2002

文章编号:1007-0834(2002)03-0009-04

求逆矩阵方法的进一步研究

王莲花1,张香伟2,李战国1,王建平1

(1 河南农业大学基础科学学院,河南郑州450002;2 郑州第二师范,河南荥阳450100)

摘要:在逆矩阵、线性方程组及分块矩阵有关知识的基础上,文中给出求逆矩阵的另外一些方法,即(1)利用线性方程组求逆矩阵;(2)由AB=E,则A-1=B;(3)分块求逆法.

关键词:逆矩阵;线性方程组;分块矩阵中图分类号:O151 21 文献标识码:A

矩阵是数学中一个极其重要的应用广泛的概念,它是代数,特别是线性代数的一个主要研究对象.其中逆矩阵又是矩阵理论中一个非常重要的概念,逆矩阵的求法自然也就成为我们要研究的主要内容之一.可是在研究逆矩阵的求法时,大家往往只注意到课本中强调的方法,即伴随矩阵的方法及初等变换的方法,而忽略了对其他方法的进一步探讨和应用.本文试图在逆矩阵、线性方程组及分块矩阵等有关知识的基础上,进一步给出求逆矩阵的另外一些方法.

1 利用线性方程组来求逆矩阵

若n阶矩阵A可逆,则AA

-1

分析:由于A的阶数较高,用初等变换的方法写起来篇幅较大,而考虑到A是上阶梯形矩阵,采用解线性方程组的方法求逆较易.

解:设X=(x1,x2,x3,x4,x5)T,B=(b1,b2,b3,b4,b5)T

解方程组 AX=B

2x1+x2=b12x2+x3=b2

即

2x3+x4=b32x4+x5=b42x5=b5

很容易解出x1,x2,x3,x4,x5与b1,b2,b3,b4,b5的关系如下:

x1=2-5(24b1-23b2+22b3-2b4+b5)x2=2-4(23b2-22b3+2b4-b5)x3=2-3(22b3-2b4+b5)x4=2(2b4-b5)x5=2-1b5

然后把B=(b1,b2,b3,b4,b5)分别用 1=(1,0,0,0,0), 2=(0,1,0,0,0), 3=(0,0,1,0,0), 4=

-(0,0,0,1,0), 5=(0,0,0,0,1)代入,得到矩阵A

1

-2

=E,于是A

-1

的

第i列是线性方程组AX= i的解,i=1,2, ,n, i是第i个分量是1的单位向量.因此,我们可以去解线性方程组AX=B,其中B=(b1,b2, ,bn)T,然后把所得的解的公式中的b1,b2, ,bn分别用 1=(1,0,0, ,0), 2=(0,1,0, ,0), , n=(0,0,0, ,1)代替,便可以求得A-1的第1,2, ,n列,这种方法在某些时候可能比用初等变换法求逆矩阵稍微简单一点.下面事例说明该方法的应用.

2102

例1 求矩阵A=00

00

00

收稿日期:2002-03-19

000100

210的逆矩阵.02100的第1,2,3,4,5列分别用x1=(2-1,0,0,0,0)T,x2=(-2

-2

,2

-1

,0,0,0),x3=(2,-2,2,0,

T-3-2-1

作者简介:王莲花(1964 ),女,河南宁陵人,河南农业大学基础科学学院副教授.

0),x4=(-2

T-4

,2

-3

,-2

21

-2

,2,0),x5=(2

321

-1T-5

,

(E-A)-1=E+A+A2+A3=类似可求得:

-2-4,2-3,-2-2,2-1)T

2-10

于是A

-1

11010000

111110-2- 2-00

2--2- 2-0

-2- 2--2- 2

432

2--2- 2--2

43

=00

-1-2-1

1-1

(E+A)-1=E-A+A2-A3=3 分块求逆法

000

1 0 0

1--1 0

1 1-1

0000 2

由此可知,这种求逆矩阵的方法特别适用于线性方程组AX=B比较容易求解的情形.2 利用定理求逆矩阵

命题1 设A、B都是n阶矩阵,若AB=E,则A与B都可逆,并且A

-1

当一个可逆矩阵的阶数较大时,即使用初等变

=B、B

-1

换求它的逆矩阵计算量仍然较大,如果把该矩阵分块,再对分块矩阵求逆矩阵,则有可能减少计算量.3 1 分块对角矩阵求逆

如果把一个矩阵适当分块能得到一个分块对角矩阵,那么很容易判断它是否可逆,并且当可逆时较容易求它的逆矩阵.

命题2 分块对角矩阵A=diag(A1,A2, ,As)可逆的充分必要条件是它的主对角线上的每个小矩阵Ai(i=1,2, ,s)可逆,并且A可逆时,A-1=diag

1-1-1

(A-1,A2, ,As).

=A.

证明:因为AB=E,所以|A||B|=1,从而|A| 0,|B| 0,因此A与B都可逆,在AB=E两边左乘AB

-1

-1

得A

-1

(AB)=A

-1

E,由此得B=A

-1

,于是

=(A

-1-1

)=A.下面以举例说明这种方法的应

用.

例2 证明:如果Ak=0,那么(E-A)-1=E+A+A+ +A

2

k-1

.

证明:因此E与A可以交换,所以(E-A)(E+A+A2+ +Ak-1)=E-AK,因AK=0,于是得(E-A)(E+A+A+ +A且(E-A) (k 2)

由此可知,只要满足A=0,就可以利用此题求出一类矩阵E A得逆矩阵.

例3 设A=

000

得逆矩阵.

分析:由于A中有许多元素为零,考虑A是否为零矩阵,若为零矩阵,则可以采用例2的方法求E A的逆矩阵.

00

解 容易验证A2=

0000000000

101000000

,

K

k

-1

2

k-1

证明:因为|A|=|A1||A2| |As|,所以A可逆 每个Ai(i=1,2, ,s)可逆,因为A可逆时,有

Adiag(A1,A2, ,As)=diag(A1A1,

1-1

A2A-2, ,AsAs)=E

1-1-1

所以 A-1=diag(A-1,A2, ,As).

-1

-1

-1

-1

)=E,故E-A可逆,

k-1

=E+A+A+ +A

2

,同理可以证

明(E+A)-1=E-A+A2-A3+ +(-1)k-1Ak-1

该命题表明,可逆分块对角矩阵的逆矩阵仍是分块对角矩阵.

3 2 分块上三角形矩阵求逆

,其中A11,A22分别

0A是r阶、s阶方阵,则A可逆的充分必要条件为A11

命题3 设A=与A22都可逆,且A

-1

10010

,求E-A和E+A

00100A11A12

1

0A-22

证明:因为|A|=|A11||A12|,所以|A| 0

=

A11

-1

-A11A12A22

-1-1

|A11| 0且|A22| 0,于是A可逆 A11与A22都可逆.下面求A-1,为此先把A化 …… 此处隐藏：3535字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……