2010年中考数学二轮拔高专题复习—分类讨论

时间：2025-04-20

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二轮复习——分类讨论

Ⅰ、专题精讲：

在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略．

分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解．提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．

分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行． Ⅱ、典型例题剖析

【例1】（南充，11分）如图3－2－1，一次函数与反比例函数的图象分别是直线AB和双曲线．直线AB与双曲线的一个交点为点C，CD⊥x轴于点D，OD＝2OB＝4OA＝4．求一次函数和反比例函数的解析式．

解：由已知OD＝2OB＝4OA＝4，

得A（0，－1），B（－2，0），D（－4，0）．设一次函数解析式为y＝kx＋b．点A，B在一次函数图象上， ∴ b 1,

2k b 0,

即 k ,

b 1.

则一次函数解析式是 y 2x 1.

点C在一次函数图象上，当x 4时，y 1，即C（－4，1）．设反比例函数解析式为y

． x

，m＝－4． 4

点C在反比例函数图象上，则1

故反比例函数解析式是：y 4．

点拨：解决本题的关键是确定A、B、C、D的坐标。

【例2】（武汉实验，12分）如图3－2－2所示，如图，在平面直角坐标系中，点O1的坐标为（－4，0），以点O1为圆心，8为半径的圆与x轴交于A、B两点，过点A作直线l与

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x轴负方向相交成60°角。以点O2（13，5）为圆心的圆与x轴相切于点D. （1）求直线l的解析式；

（2）将⊙O2以每秒1个单位的速度沿x轴向左平移，同时直线l沿x轴向右平移，当⊙O2第一次与⊙O2相切时，直线l也恰好与⊙O2第一次相切，求直线l平移的速度；（3）将⊙O2沿x轴向右平移，在平移的过程中与x轴相切于点E，EG为⊙O2的直径，过点A作⊙O2的切线，切⊙O2于另一点F，连结A O2、FG，那么FG·A O2的值是否会发生变化？如果不变，说明理由并求其值；如果变化，求其变化范围。

解（1）直线l经过点A（－12，0），与y轴交于点（0

，－设解析式为y＝kx＋b，则b

＝－k

＝所以直线l

的解析式为y－（2）可求得⊙O2第一次与⊙O1相切时，向左平移了5秒（5个单位）如图所示。在5秒内直线l平移的距离计算：8＋12

所以直线l平移的速度为每秒（6

（3）提示：证明Rt△EFG∽Rt△AE O2 于是可得：

FGEG1

（其中O2E＝EG） O2EAO22

所以FG·A O2＝1EG2，即其值不变。

点拨：因为⊙O2不断移动的同时，直线l也在进行着移动，而圆与圆的位置关系有：相离(外离，内含)，相交、相切(外切、内切〕，直线和圆的位置关系有：相交、相切、相离，所以这样以来，我们在分析过程中不能忽略所有的可能情况．

【例3】（衢州，14分）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，点A的坐标为(1，0)，以CD为直径，在矩形ABCD内作半圆，点M为圆心．设过A、B两点抛物线的解析式为y=ax+bx+c，顶点为点N．

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(1)求过A、C两点直线的解析式；

(2)当点N在半圆M内时，求a的取值范围；

(3)过点A作⊙M的切线交BC于点F，E为切点，当以点A、F,B为顶点的三角形与以C、N、M为顶点的三角形相似时，求点N的坐标．

解：(1)过点A、c直线的解析式为y=(2)抛物线y=ax－5x+4a． 59

∴顶点N的坐标为(－．

由抛物线、半圆的轴对称可知，抛物线的顶点在过点M且与CD垂直的直线上， 1992

又点N在半圆内，＜2，解这个不等式，得－＜a＜－．

2489(3)设EF=x，则CF=x，BF=2－x

在Rt△ABF中，由勾股定理得x= ，BF=

x－ 33

【例4】（杭州，8分）在平面直角坐标系内,已知点A(2,1),O为坐标原点.请你在坐标轴上确定点P,使得ΔAOP成为等腰三角形.在给出的坐标系中把所有这样的点P都找出来,画上实心点,并在旁边标上P1,P2,……,Pk,(有k个就标到PK为止,不必写出画法) 解：以A为圆心，OA为半径作圆交坐标轴得P(4,0)和P2(0,2)； 1

以O为圆心，OA

为半径作圆交坐标轴得P

，P4(

，P

5和P6(0,；3

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55P(7(0,。

作OA的垂直平分线交坐标轴得4,0)和P8

点拨：应分三种情况：①OA=OP时；②OP=P时；③OA=PA时，再找出这三种情况中所有符合条件的P点．

Ⅲ、同步跟踪配套试题（60分 45分钟）

一、选择题（每题 3分，共 15分）

1．若等腰三角形的一个内角为50＼则其他两个内角为（） A．50，80 B．65， 65 C．50，65