第4章 连续时间傅立叶变换

信号与系统

第4章 连续时间傅立叶变换The Continuous time Fourier Transform

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本章的主要内容:1. 连续时间傅立叶变换;

2. 傅立叶级数与傅立叶变换之间的关系;3. 傅立叶变换的性质; 4. 系统的频率响应及系统的频域分析；

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4.0 引言 Introduction在工程应用中有相当广泛的信号是非周 期信号，对非周期信号应该如何进行分解， 什么是非周期信号的频谱表示，线性时不 变系统对非周期信号的响应如何求解，就

是这一章要解决的问题。

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4.1 非周期信号的表示—连续时间傅立叶变换一.从傅立叶级数到傅立叶变换 再次考察周期性矩形脉冲的频谱图： ak T 4T0

ak(b)0

当 T0 时，周期性矩形脉冲信号将演变成 为非周期的单个矩形脉冲信号。 2 相应地，谱线间隔 0 0 ,离散的频谱将演 变为连续的频谱。T0

0

(a)

1

T0 8T1

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2T1 sin k 0T1 由于 ak 也随 T0 增大而减小，并最 T0 k 0T1

终趋于0,即其频谱为0。那么怎样研究非周期信号的频谱呢? 考查 T0 ak 的变化，它在 T0 时非零。xT (t )t T00T0 /2

x(t )t 0

T0

T0 ak

T0 /2

xT (t )e

jk 0t

dt

T0

xT (t ) x(t )

k 0

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对上式取极限，并令 Tlim T0 ak X ( j ) 则有 0

X ( j ) x(t )e j t dt

连续时间傅立叶变换

ak 由于 X ( j ) lim T0 ak lim 可看成频谱密度随频 T0 f0 0 f 0 率的分布，因而称 X ( j ) 为频谱密度函数。简称频谱。 这表明:周期信号的频谱就是与它对应的非周期信 号频谱的样本。而非周期信号的频谱是对应的周期 信号频谱的包络。1 与周期信号傅立叶级数对比有：ak X ( jk 0 ) T0

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怎样用频谱来表示非周期信号呢？ 根据傅立叶级数表示：xT (t ) k

ak e

jk 0t

1 T0

k

X ( jk 0 )e

jk 0t

1 2

k

X ( jk 0 )e jk 0t 0

2 d , x 当 T0 时， T (t ) x(t ), 0 T0

k 0 ,

于是有：

1 x(t ) 2

X ( j )e j t d

傅立叶逆变换

此式表明，非周期信号可以分解成无数多个频率1 连续分布、振幅为 X ( j )d 的复指数信号之和。 2

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于是，我们得到了非周期信号的频域描述方法

X ( j ) x(t )e

j t

dtj t

1 x(t ) 2

X ( j )e d

这一对变换关系被称为连续时间傅立叶变换对。

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二. 傅立叶变换的收敛既然傅立叶变换的引出是从周期信号的傅立叶

级数表示出发，讨论周期趋于无穷大时的极限得来的，傅立叶变换的收敛问题就应该和傅立叶级

数的收敛相一致。也有相应的两组条件： 1. 若 x(t )

dt 则 X ( j ) 存在。 这表明能量有限的信号其傅立叶变换一定存在。 2

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2. Dirichlet 条件 a. 绝对可积条件 且极值有限。 c. 在任何有限区间内，x(t ) 只有有限个第一类间

x(t ) dt

b. 在任何有限区间内， x(t )只有有限个极值点，

断点。这两组条件只是傅立叶变换存在的充分条件

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和周期信号的情况一样，当 x(t ) 的傅立叶变换存 在时，其傅立叶变换在 x(t ) 的连续处收敛于信号本

身，在间断点处收敛于左右极限的平均值，在间断点附近会也产生Gibbs 现象。

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三.常用信号的傅立叶变换： 1. x(t ) e u (t ), at

x(t )1

a 01 dt a j ≮X (

X ( j ) e e0

at j t

t0

X ( j )

1 a2 2

j ) tg

-1

a

X ( j )1/ a1 2a0

≮X (

j )

a

/4

/2

a

a

/ 2

/ 4

a

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2. x(t ) e

a t

, a 0at j t

x(t ) at j t 0

X ( j ) e e

0

dt e e

dt

1

1 1 2a 2 2 a j a j a 对此例有 X ( j ) X ( j ) 结论：实偶信号的傅立叶 变换是实偶函数。此时可以 用一幅图表示信号的频谱。≮X (

t0

j ) 02 a

X ( j )

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3. x(t ) (t )

(t )

X ( j )1

0

这表明 (t ) 中包括了所有的频率成分，且所有频 率分量的幅度、相位都相同。因此，系统的单位冲 激响应 h(t )才能完全描述一个LTI系统的特性， (t ) 才在信号与系统分析中具有如此重要的意义。

0

X ( j ) (t )e j t dt 1

t

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4. 矩形脉冲: x(t )

1, 0,

t T1t T1 T1

x (t )1

tT1

X ( j ) e T1

T1

j t

dt

2sin T1

2T1 sin T1 T1

2T1 Sa( T1 )1 显然，将 X ( j ) 中的 代之以k 0 再乘以 ，即 T0

是相应周期信号的频谱

2T1 2T1 sin k 0T1 ak Sa(k 0T1 ) T0 T0 k 0T

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不同脉冲宽度对频谱的影响x(t )12T1

X ( j )

t T1

T1

0 T1

0X ( j )4T1

x(t )1 2T1

t02T1

2T1

0

可见，信号在时域和频域之间有一种相反的关系。