线性代数课件3.1 n维向量

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第三章

第一节 n 维向量一、向量、向量组

二、线性相关性三、最大线性无关组 四、向量组的秩 五、小结

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一、向量、向量组定义1n 个有次序的数 a1 , a2 , , an 所组成的有序 数组(a1 , a2 , , an )称为n维向量，这n个数称为该向量

的n个分量，第i个数ai 称为第i个分量 .分量全为实数的向量称为实向量， 分量全为复数的向量称为复向量.

n 维向量写成一行，称为行向量，也就是行矩阵， T T T 通常用 , 等表示，如： (a1 , a2 , , an ) n 维向量写成一列，称为列向量，也就是列矩阵， a1 , 等表示，如： 通常用 a2 规定行向量和列向量都 按照矩阵的运算规则进行运算. an

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若干个同维数的列向量(或同维数的行向量) 所组成的集合叫做向量组.例如

矩阵A (a ij )m n 有n个m维列向量

aj a1 a 2 an a11 a12 a1 j a1n a 21 a 22 a 2 j a 2 n A a a mj a mn m1 a m 2向量组 a1, a 2 , , a n 称为矩阵A的列向量组.

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类似地, 矩阵A (aij )m n 又有m个n维行向量 a11 a12 a 21 a 22 A ai1 ai 2 a m1 am 2T 1 T 2

a1 n a2n a in a mn T m

T 2T 1

T i T m

向量组 , , …, 称为矩阵A的行向量组.

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反之，由有限个向量所组成的向量组可以构 成一个矩阵.m个n维列向量所组成的向量组 1 , 2 , 构成一个n m矩阵 A ( 1 , 2 , , m )m 个n维行向量所组成 的向量组 1 , 2 , m ,T T T

, m ,

构成一个m n矩阵

1T T 2 B T m

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线性方程组的向量表示 a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 , a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n b2 , a m 1 x1 a m 2 x 2 a mn x n bm .a1 x1 a 2 x 2 a n x n b

方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应.

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定义1 给定向量组A : 1 , 2 , , m,对于任何一

组实数k1,k2, , km, 向量k1 1 k 2 2 k m m , k m 称为这 称为向量组的一个线性组合，k1,k 2, 个线性组合的系数 .

给定向量组A : 1 , 2 , , m 和向量b, 如果存在 一组数 1, 2, , m,使

b 1 1 2 2 m m则向量b是向量组A的线性组合，这时称 向量 b 能 由向量组 A 线性表示. 即线性方程组x1 1 x2 2 xm m b有解.

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线性方程组x1 1 x2 2 xm m b有解 A ( 1, 2, , m )的秩等

于B ( 1, 2, , m , b)的秩

定理1 向量b能由向量组A : 1, 2, , m 线性表示 的充分必要条件是矩阵 A ( 1, 2, , m )的秩等于 矩阵B ( 1, 2, , m , b )的秩. 定义2 设有两个向量组 A : 1 , 2 , , m 及B : 1 , 2 , , s .

若B组中的每个向量都能由 向量组A线性表示，则 称 向量组B能由向量组A线性表示 . 若向量组A与向 量组B能相互线性表示，则称 这两个向量组等价.向量组之间的等价关系具有下述性质： (1)反身性 (2)对称性 (3)传递性

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二、线性相关性定义3 给定向量组A : 1 , 2 , , m , 如果存在不

全为零的数k1 , k2 , , km 使 k1 1 k2 2 km m 0则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关. 注意当 1 1. 若 1 , 2 , , n线性无关 , 则只有 n 0时, 才有

1 1 2 2 线性无关 .

n n 0 成立 .

2. 对于任一向量组, 不是线性相关就是

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3. 向量组只包含一个向量 时,

线性相关 0

线性无关 04.包含零向量的任何向量组都是线性相关的.5.对于仅含有两个向量的向量组, 它线性相关的 充要条件是两向量的分量对应成比例，两个向量线性相关的几何意义是两向量共线；三个向量线性相关的几何意义是三向量共面.

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定理 向量组 1 , 2 , , (当 m 2 时)线性相关 m 的充分必要条件是 1 , 2 , , m 中至少有一个向 量可由其余 m 1个向量线性表示. 证明 充分性 设 1 , 2 , , m 中有一个向量(不妨设 am ) 能由其余向量线性表示， 则有

am 1 1 2 2 m 1 m 1故

1 1 2 2 m 1 m 1 1 am 0

因 1 , 2 , , m 1 , 1 这 m 个数不全为0, 故 1 , 2 , , m 线性相关.

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必要性

设 1 , 2 , , m 线性相关，

则有不全为0的数 k1 , k 2 , , k m , 使

k1 1 k2 2 km m 0.因 k1 , k2 , , km 中至少有一个不为0, 不妨设 k1 0, 则有

k2 k3 km 1 2 3 m . k1 k1 k1 即 1 能由其余向量线性表示.

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向量组A线性相关就是齐次线性方程组 x1 1 x2 2 xm m 0 即 Ax 0 有非零解, 其中A ( 1 , 2 , m ).定理2 向量组 1 , 2 , , m 线性相关的充分必要

条件是它所构成的矩阵 A ( 1 , 2 , , m )的秩小 于向量个数 m ;向量组线性无关的充分 必要条件是 R( A ) m .下面举例说明定理的应用.

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例1 n 维向量组 1 1, 0,, 0 , 2

0,1,T

, 0 , , n 0, 0,T

,1

T

称为n 维基本单位向量组, 讨论其线性相关性 .

解

n维单位向量组构成的矩阵 E ( 1 , 2 , , n ) 是n阶单位矩阵.由 E 1 0,知R( E ) n.即R( E )等于向 …… 此处隐藏：899字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……