无穷级数习题答案
时间:2025-04-03
时间:2025-04-03
高等数学无穷级数习题和答案
无穷级数自测题简解与答案
一、
填空题
1, k >1; 2, 发散;3,0<p≤1; 4, a<1,b任意;或a=±1,b>1;或a= 1,0<b≤1; 5,发散; 6,绝对收敛;发散; 7, 8;[ 2,2);8,(-2,2);
239,;π2;10,。
34二、 选择题
11,A; 12,B; 13,C;14,C;15,C;16;B。 三、 解答题
17(1
n=
→/0级数发散。
(2)用比值判别法,a<3e时收敛; a>3e时发散; a=3e 时
un+1e
=>1,un→/0,级数发散。
1nun
(1+)
n
(3) sin 1 2 1~1sin(n→∞), 级数收敛。 = 2 2n (4) 用比值判别法, lim
1
n
un+11
=<1, 级数收敛。
n→∞uen
n1
(5
)limlim==≠0,级数发散。
n→∞(n+1)nn→∞ne
(1+n
n+
(6)lim
un+1
=0, 级数收敛。
n→∞un
∞
un1n+1
=lim=1, 原级数与级数∑敛散(7)因为lim
n→∞n→∞n1(1)ln(1)n+n+n=1
(n+1)ln(n+1)
性相同,故原级数发散。
18, (1)条件收敛(用莱布尼兹判别法即可);(2)条件收敛;
(3)lim
n→∞
un+1
=a,a<1时级数绝对收敛;a>1时,limun=+∞,limun≠0,
n→∞n→∞un
级数发散; a=1时级数发散;a= 1时级数条件收敛。
1
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(4)un≤
22n+
2
3n+1
,级数绝对收敛。 19, 级数条件收敛。
∞
un=≥∑un发散; n=1级数本身不满足莱布尼兹条件,下用定义判断。设该级数的部分和数列为Sn,则
S2 n=
... nn
=∑vk=k=1∑k=1
而
vk=
==知 ∑n
n
v
k
是收敛的负数项级数,故limk=1n→∞
S2n=lim
n→∞
∑v
k
存在,
k=1
nlim→∞
S2n+1=lim(n→∞
Sn+
=limn→∞
S2n 从而limSn存在,原级数收敛。
n→∞
20,(1) [ 1,1], (2), [ 3,1]. 21, (1)( 1,1)
∞
n(n+1)n 11∞n+1′′ 1∞n+1 ′′1 x2 ′′
S(x)=(2)
∑n=12x=2∑(x)=n=1 2∑xn=1 =2 1 x
=1
(1 x)
3
,x<1.∞
(3)
∑n(n+1)1
n
=S(=8。 n=1
22 x
122,收敛域 ( 1,1),和函数S(x)= (1 x)2
xln(1 x),x≠0,x<1
1, x=0.∞
令S(x)=∑n2+n+1xn
,
x<1.,则S(0)=1;x≠0时
n=0
n+1
2
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∞
S(x)=∑(n+1)2 (n+1)+1n∞n∞∞
1nn=0n+1x=∑(n+1)x n=0∑xn
+n=0∑x
n=0n+1
∞=∑(xn+1∞)′ n1∞1∞
xn+1=(n=0∑x+n=0x∑∑xn+1
)′ 1+1∞xn0n+1n=0
1 xx∑n=0∫0tdt
n==(x1 x)′ 11 x+1x∫x∞0(∑tn)dt=x12 ln(1 x)n=0
(1 x)x∞
∞23, ∑
x3n ∑( 1)n 1
=( x3)n= ln(1 x3),x∈[ 1,1)。 n=1nn=1
n24,
f(x)=112(1+x)(
1 x)′′=12(1+x) ∞ ∑xn ′′n=0
=1
∞
2(1+x)∑n(n 1)xn 2n=2=1∑∞n(n 1)xn 2
+1∑∞n(n 1)xn 12
n=22n=2
=1∑∞(n+2)(n+1)xn+1∑∞(n+1)nxn
∞
=∑(n+1)2xn2,x<1n=02n=1n=2
25,
f(x)=
1(x 2)(x 3)=1x 3 1x 2=1 2+x 1
1
1+x 1
=111∞
1 (x 1) 2(
)=∑(x 1)n
1∑∞(1)n(x 1)n,x 1<11 1(x 1)n=02n=02
2
∞
=∑
n=0
1 1 2n+1 (x 1)n,x 1<1
26,
∞
( 1)n2n f(x)=∫x1 ∑n=0
(2n)!x∞n 1nx0x= ∫0∑( 1)n=1
(2n)! ∞
n
=∑( 1)
n 1
x(2n)!n
x∈( ∞,+∞)n=1
∞
27, 令S(x)=∑
2n+3x2n
,x∈( ∞,+∞).,则 n=0
n!∞
2nx2n∞∞
S(x)=∑32n=0n!∑(x2)n=2n=0n!∑x2n
++3exn=1(n 1)!
∞
22n
=2∑
x(x)
+3ex2
=2x2ex2
+3ex2
=(2x2+3)ex2
n=0
n!
.
3
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∞
2n2n
28, ∑=∑ 1 2=e2 3.
n=2n!n=0n!
∞
∞
π1 ( 1)nπ4∞cos(2n 1)x
29, f(x)=+2∑cosnx=+∑x∈( ∞,+∞) 22
2nπ2πn=1(2n 1)n=1
和函数在[0,2π]上表达式与f(x)相同。
π2∞ 42
30,f(x)=+∑ 2( 1)ncosnx+( 1)nsinnx ,x∈( π,π)
n3n=1 n
31,f(x)=
2
( 1)n+1sinnπx,0≤x<1。 ∑n=1nπ
4nπn
( 1) 1cosx,0≤x≤2. ∑22 2n=1nπ
∞
∞
32,f(x)=1+
四、 证明题
∞
33,由题意,∑(un an)是收敛的正项级数。
n=1
而un an≤un an=un an,因此∑(un an)绝对收敛,因而∑(un an)收敛,
n=1
n=1
∞∞
又
∑u
n=1
∞
n
收敛,故
∑a
n=1
∞
n
收敛,即
∑a
n=1
∞
n
绝对收敛。
∞
111
34, 由题意,lim(an )=0,即liman=,记∑(an an 1+)的部分和为Sn,
n→∞n→∞22n(n 1)n=2
则
Sn=(a2 a1+=an+1 a1+1
111
)+(a3 a2++...+(an+1 an+2 13 2(n+1)n
11
=an+1
n+1n+111
于是,limSn=,故级数收敛且和为。
n→∞22
35,分别设
∑n(a
n=2
∞
n
an 1)与∑an的部分和为,σn,Sn 则 …… 此处隐藏:1958字,全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……
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