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第三讲 有效前沿与最优证券组合

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有效前沿的定义： 定义3.1 设S是N种证券的选择集，如果其 中存在一个子集F(p),具有如下性质： 1.在给定的标准差(或方差)中，F(p)中的 证券组合在S中具有最大的期望收益率。 2.在给定的期望收益率中，F(p)中的证券组 合在S中具有最小的标准差(或方差)。 则称F(p)为有效前沿(efficient frontier), 简称前沿(边界)。

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3.1 N种风险证券组合的有效前沿(一)两种风险证券组合的有效前沿 两种风险证券A和B,A和B的期望收益率为 ra 2 2 和 r b,方差和协方差分别为 a , b , ab a b 对任一组合p= (x,1-x),x∈[0,1] ,证券组合 p的期望收益率和方差如下：

rp x ra (1 x) rb

_

x (1 x) 2x(1 x) ab a b2 p 2 2 a 2 2 b

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讨论证券组合P的有效前沿形状1) AB 1 2) AB 1

p x A (1 x) B p [ x A (1 x) B ] 2 p D r p Frp G_ __2

3) 1 AB 12 2

_

D ( A B 2 AB A B ) /(rA rB )2 0

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2种和3种风险证券的有效前沿rp

B ab=-1 ab=1

rp4 3 1

C 2 B A

C

D A O 图3.1 p O 图3.2

p

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例题两种风险证券A和B,A和B的期望收益率为 r a=4.6% 和 rb=8.5% ,方差和协方差分别为 2 2 a (5.62%) 2 , b (6.33%) 2 , a b 4.7% 求这两种风险资产的有效前沿。

rp x 4.6% (1 x) 8.3%2 p x2 (5.62%)2 (1 x)2 (6.33%)2 2x(1 x) 4.7%

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N种风险证券的有效前沿rp

E

O

图3.3

p

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(二)N中风险证券组合泽的有效 前沿设市场上有N种风险证券，它们的收益率 和方差为有限值 ，这些收益率的方差-协 方差矩阵V为正定矩阵 ，N种证券的期望 _ _ _ T 收益率为： r (r1 , r2 ,...,rN ) N种证券组合P表示为：X ( x1, x2 ,...,xN )T

证券组合期望收益率和方差分别为rp X T r_

2 X TVX p

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按有效前沿的定义，求有效前沿即要求解下 规划问题：1 T min X VX 2

s.t , X r rpT

_

_

X I 1T

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构造拉格朗日函数_ _ 1 T L X VX (rp X T r ) (1 X T I ) 2

一阶条件：_ L VX r I 0 T X _ L _ rp X T r 0

L 1 X T I 0

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由于V为正定阵，V的逆矩阵存在。求解得_ X V 1 ( r I ) _ _ _ _ _ T 1 T 1 (C rp A) / D rp (r V r ) (r V I ) _ (B A rp ) / D _ _ 1 ( I V 1 r ) ( I TV 1I ) _ _ _ T 1 T 1 A I V r C I TV 1I B r V r

D BC A2 0

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C rp A 1 _ B A rp 1 Xp V r V I D D _

_

_

对于另一个指定的 rq ,在前沿上的证券

组合为：C rq A 1 _ B A rq 1 Xq V r V I D D_ _

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两个证券组合的协方差为cov(rp , rq ) C D

( rp

A C

A )(rq C

1 ) C

令 r p rq ,则得前沿上的证券组合 方差为：

2 p

C ( D

r

A )2 p C

1 C

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rp

2 p

1/ C

( rp A / C ) 2 D/C2

1

A/C

MVP

O

(1/C)1/2

p

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3.2 允许对无风险证券投资的有 效前沿无风险证券(例如国库券等)的期末收 入是确定的。 因此这种证券的方差为零，从而它和任 何一种股票的协方差也为零。我们把无 风险证券简称为债券。

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一种风险证券和一种无风险证券股票A和债券 以 x1 记投入债券的比例，则 x2 1 x1 是 购买股票的比例。 证券组合的期望收益率和标准差分别为：

rp x1rf (1 x1 ) rA

_

_

p (1 x1 ) A