2016届新课标数学(理)一轮复习讲义 第九章 第3讲 二项式定理

2016届新课标数学(理)一轮复习讲义 第九章 第3讲 二项式定理

第3讲 二项式定理

1．二项式定理 (1)定理：

nn－1n－kkn*

(a＋b)n (2)通项：

n－kk

第k＋1

项为：Tk＋1 (3)二项式系数：

二项展开式中各项的二项式系数为：C(k＝0，1，2， ，n)． 2．二项式系数的性质

[做一做]

1

1．已知(2x3－n的展开式的常数项是第7项，则正整数n的值为________．

x

nr3n4r

解析：由已知条件可得Tr＋1＝Crx(－1)r， n2

由常数项为第7项，得3n－4×6＝0， 解得：n＝8. 答案：8 2．(2014·高考课标全国卷Ⅱ)(x＋a)10的展开式中，x7的系数为15，则a＝________．(用数字填写答案)

10－rr

解析：设通项为Tr＋1＝Cra，令10－r＝7，∴r＝3， 10

x

－

－

1331∴x7的系数为C310a＝15，∴aa. 821答案：2

1．辨明三个易误点

n－rr

(1)通项公式Tr＋1＝Crb是展开式的第r＋1项，不是第r项． na

(2)(a＋b)n与(b＋a)n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不相同的，所以公式

2016届新课标数学(理)一轮复习讲义 第九章 第3讲 二项式定理

中的第一个量a与第二个量b的位置不能颠倒．

(3)易混淆二项式中的“项”，“项的系数”、“项的二项式系数”等概念，注意项的系数是指非字母因数所有部分，包含符号，二项式系数仅指Ckn(k＝0，1， ，n)．

2．二项展开式系数最大项的求法

如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项

Ak≥Ak－1

系数分别为A1，A2， ，An＋1，且第k项系数最大，应用 从而解出k来，即得．

A≥A＋ kk1

[做一做]

a1

2x＋的展开式中84，则实数a＝( ) 3．(2014·高考湖北卷)若二项式 x xA．2 C．1

7

7

5

B.4 D.24

r

a7－r ar7－rr7－2r2x＋ 的展开式的通项公式为Tr＋1＝Cr解析：选C.二项式 (2x)·＝Cax，772x x125

令7－2r＝－3，得r＝5.故展开式中C572a＝84，解得a＝1. x

4．(2015·山西省第三次四校联考)如果(2x－1)6＝a0＋a1x＋a2x2＋ ＋a6x6，那么a1＋a2＋ ＋a6的值等于________．

解析：令x＝0，有1＝a0；

令x＝1，有1＝a0＋a1＋ ＋a6， ∴a1＋a2＋ ＋a6＝0.

答案：0

考点一二项展开式中的特定项或特定项的系数(高频考点)

二项式定理是高中数学中的一个重要知识点，也是高考命题的热点，多以选择题、填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题或中档题．高考对二项式定理的考查主要有以下三个命题角度：

(1)求展开式中的某一项；

(2)求展开式中的项的系数或二项式系数； (3)由已知条件求

n的值或参数的值．

1

－2y 的展开式中x2y3的系数是( ) (1)(2014·高考湖南卷) 2 A．－20 B．－5

C．5 D．20

16

(2)(2013·高考天津卷)x－的二项展开式中的常数项为________．

b

ax2＋的展开式中x3项的系数为20，则a2＋b2的最小值为(3)(2014·高考山东卷)若 x

6

5

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________．

11 x－2y 展开式的通项公式为Tr＋1＝Cr[解析] (1) 52x 2

－r

55－r

·(－2y)

r

1

＝Cr52

5－r

·(－2)r·x5

·y.当r＝3

r

3

时，C5

6

1·(－2)3＝－20. 2r

2

1 1 ＝(－1)rCrx6－3，令6－3r＝0，6－r

(2) x－的展开式通项为Tr＋1＝(－1)rCrx·66

22x x 解得r＝4，故常数项为(－1)4C46＝15.

b26－r br6－rr12－3r

ax2＋的展开式的通项为Tr＋1＝Cr(3) (ax)·＝Cbx，令12－3r＝3，得66ax x633

r＝3，由C3b＝20，得ab＝1，所以a2＋b2≥2ab＝2，故a2＋b2的最小值为2. 6a

[答案] (1)A (2)15 (3)2

[规律方法] 二项式展开式有关问题的解题策略：

(1)求展开式中的第n项．可依据二项式的通项公式直接求出第n项． (2)求展开式中的特定项．可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可． (3)已知展开式的某项，求特定项的系数．可由某项得出参数项，再由通项公式写出第r

＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数．

12n

1.(1)(2015·洛阳市高三年级统考)设n为正整数，(x－)展开式中存

x－

6r

在常数项，则n的一个可能取值为( )

A．16 B．10 C．4 D．2 (2)(2014·高考课标全国卷Ⅰ)(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为________．(用数字填写答案)

x－

12x

)8的展开式中的有理项共有________项． 1x1x4n－5k2

解析：(1)(x－2n

展开式的通项公式为

2n－k

Tk＋1＝Ck(－2nx

)

k

k

＝Ck2n(－1)x

，令

4n－5k4n

＝0，得k＝，∴n可取10. 25

7(2)x2y7＝x·(xy7)，其系数为C8， x2y7＝y·(x2y6)，其系数为－C68，

6

∴x2y7的系数为C78－C8＝8－28＝－20.

x－

1

2x

)的展开式的通项为

8

Tr＋1＝Cr8(

x)

8－r

1

()＝(－)rCr8x22x

r

－1

16－3r(r＝0，1，2， ，

8)，为使Tr＋1为有理项，r必须是4的倍数，所以r＝0，4，8，故共有3个有理项，分别是104413511－2

T1＝(－0C8x＝x，T5＝(－4C4x，T9＝(8C8. 8x＝8x＝2282256x答 …… 此处隐藏：6424字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……