高等数学方明亮4.1 不定积分的概念与性质

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牛顿(Newton)2012年9月8日星期六 1

莱布尼兹(Leibniz)目录 上页 下页 返回

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第四章 不定积分(Indefinite Integrals)

微分法: F ( x) ( ? )

互逆运算 积分法: ( ? ) f ( x)

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主要内容第一节 第二节 第三节 第四节 第五节2012年9月8日星期六

不定积分的概念与性质 换元积分法 分部积分法 几种特殊类型函数的积分 积分表的使用3目录 上页 下页 返回

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第四章

第一节 不定积分的概念与性质(Conceptions and properties of Indefinite Integrals)

一、原函数与不定积分的概念

二、基本积分表三、不定积分的性质 四、小结与思考题2012年9月8日星期六 4目录 上页 下页 返回

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一、原函数与不定积分的概念(Primitive Function and the Indefinite Integral) 定义 1 若在区间 I 上定义的两个函数 F (x) 及 f (x) 满足 则称 F (x) 为f (x)

在区间 I 上的一个原函数 .例如, 问 题: 1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ? 2. 若原函数存在, 它如何表示 ?2012年9月8日星期六 5目录 上页 下页 返回

的原函数有 cost , cos t 3,

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定理1(原函数存在定理) 存在原函数 .(下章证明)

初等函数在定义区间上连续

初等函数在定义区间上有原函数

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定理 2 原函数都在函数族 证: 1) 即 ( C 为任意常数 ) 内 .

又知 [ ( x) F ( x)] ( x) F ( x) f ( x) f ( x) 0

故

( x) F ( x) C0 (C0 为某个常数 )

即 ( x) F ( x) C0 属于函数族 F ( x) C .2012年9月8日星期六 7目录 上页 下页 返回

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定义 2

在区间 I 上的原函数全体称为 其中 — 被积函数; — 被积表达式.

上的不定积分, 记作

— 积分号;— 积分变量; 若 则

( C 为任意常数 ) 例如,

e dx e C 2 3 x dx 1 x C 3x

x

C 称为积分常数 不可丢 !

sin xdx 2012年9月8日星期六

cos x C8目录 上页 下页 返回

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不定积分的几何意义: 的原函数的图形称为 的积分曲线 . 的所有积分曲线组成 的平行曲线族.

f ( x) dx 的图形y

o2012年9月8日星期六 9

x0目录

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从不定积分定义可知:(1) d dx

f (x) 或 d

f ( x ) dx

或

二、 基本积分表(1) (2)(3)

利用逆向思维

kdx

kx C 1 1 x 1

( k 为常数) C

x dx dx x

( 1)1 x下页 返回

ln x C10

x 0时( ln x ) [ ln( x) ] 目录 上页

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( 4)(5)

1 x 2 arctan x C dx 1 x2

dx

或 arc cot x C

arcsin x C 或 arc cos x C

(6) (7 )(8) (9)

cos xdx sin x C sin xdx

cos 2 x sin 2 xdx dx

cos x C

sec 2 xdx tan x C

csc xdx cot x C2

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(10) (11) (12) (13) (14) (15)

sec x tan xdx sec x C csc x cot xdx csc x Ce dx e x C x

a

x

dx

a

x

sh x

e e 2

x

x

ln a

Cx

sh xdx ch x C ch xdx sh x C12

ch x

e e 2

x

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例1(课本 例5)求 解: 原式 =

x

4 3

x 3 dx 4 C 3 1

4 1

3x

1 3

C

例2 (补充题) 求解: 原式=

1 sin 2

x dx 1 cos x C 2

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三、不定积分的性质(Properties of the Indefinite Integral)1. 2.

k f ( x) dx k f ( x)dx

(k 0)

[ f ( x) g ( x)] dx f ( x)dx g ( x) d x则n

推论: 若

f ( x)dx k f ( x)dxi i i 1

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例3 (补充题)求解: 原式 =

[( 2e) 5 2 )dxx x

(2e)

x

ln(2e)

5

2

x

C

ln 2

ex 5 x 2 C ln 2 1 ln 2

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例4 (补充题) 求 解: 原式 = (sec x 1)dx2

sec xdx dx tan x x C2

例5 (课本 例8) 求 解: 原式 =

(1 x ) x2

x (1 x )2

dxdx

1 x

dx

1 1 x2

ln x arctan x C2012年9月8日星期六 16目录 上页 下页 返回