拉格朗日插值公式--计算方法

§1.2 拉格朗日插值公式------《数值分析简明教程》

1、线性插值 2、抛物插值 3、一般情况2011-6-1 考试答卷 1

1、线性插值首先考察线性插值的简单情形。

表示通过两点(x0,y0),(x1,y1)的直线。因此，一次插 值亦称线性插值。 上述简单的线性插值是人们所熟悉的，它的解p1(x) y y (x x ) p1( x) = y + 可表为下列点斜式 x x 例2 已知 100 = 10 , 121 = 11 , 求 y = 115 (3) 解：这里x0=100,y0=10,x1=121,y1=11.令 x=115代入(3),求得y=10.71428,这个结果有3 位有效数字(试与例1的结果相比较). 2011-6-1 2 考试答卷1 1 0 0 0 0

问题3 求作一次式p1(x),使满足条 件：p1(x0)=y0,p1(x1)=y1 从几何图形上看，y=p1(x)

我们知道，线性公式(3)亦可表示为下列对称式 x x x x p ( x ) = y + y (4) x x x x x x 0 若令： l ( x ) = x x 1 , l ( x ) =1 0 1 0 1 0 1 1 0

0

x

0

x

1

1

x

1

x

0

则有： p1(x)=y0l0(x)+y1l1(x) (5) 注意，这里的l0(x)和l1(x)分别可以看做是满足条件 l0(x0)=1 , l0(x1)=0 l1(x1)=1 , l1(x0)=0 的插值多项式.这两个特殊的插值多项式称作问题3的插值基函 插值基函 数 (参考图1-1、1-2). 式(5)表明，插值问题3的解p1(x)可以通过插值基函数l0(x)和 l1(x)组合得出，且组合系数恰为所给数据y0,y1.2011-6-1 考试答卷 3

y

1

l0(x)

1 l1(x)

0

0 x0 图 1-1 x1 x x0 图 1-2

x1

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2、抛物插值线性插值仅仅利用两个节点上的信息，精 确度自然很低，为了提高精确度，进一步 考察下述二次插值。

问题4 求作二次式p2(x),使满足条件p2(x0)=y0, p2(x1)=y1, p2(x2)=y2 (6) 二次插值的几何解释是，用通过三点 (x0,y0),(x1,y1),(x2,y2)的抛物线y=p2(x)来近 似所考察的曲线y=f(x),因此这类插值亦称 为抛物插值。

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为了得出插值公式p 先解决一个特殊的二次插值问题： 为了得出插值公式 2(x),先解决一个特殊的二次插值问题： 先解决一个特殊的二次插值问题 求作二次式l 求作二次式 0(x),使满足条件 ， l0(x)=1 , l0(x1)=l0(x2)=0 (7) ) 这个问题是容易求解的，事实上，由式( ) 这个问题是容易求解的，事实上，由式(7)的后两个条 的两个零点， 件知， 件知，x1,x2是l0(x)的两个零点，因而 的两个零点

l0(x)=c(x-x1)(x-x2) 再利用式(7)剩下的一个条件 l0(x0)=1确定系数c,结果得出l0 ( x ) = ( x x 0 )( x x 2 ) ( x 0 x 1 )( x 0 x 2 )

类似的可以构造出满足条件： l1(x1)=1,l1(x0)=l1(x2)=0 2011-6-1 l2(x2)=1,l2(x0)=l2(x1)=0。 考试答卷

的插值多项式l1(x)与l2(x),其表达式分别为：l1 ( x ) = ( x x 0 )( x x 2 ) ( x x 0 )( x x 1 ) , l2 ( x ) = ( x 1 x 0 )( x 2 x 1 ) ( x 2 x 0 )( x 2 x 1 )

这样构造出的l0(x),l1(x)和l2(x)称

作问题4的插值 基函数 y 设取已知数据y0,y1,y2作为组合系数，将插值基 函数l0(x),l1(x),l2(x)组合得：(x x0)(x x2 ) (x x0)(x x1) (x x1)(x x2) p2(x) = y0 y1 y2 (x0 x1)(x0 x2) (x1 x0)(x1 x2) (x2 x0)(x2 x1) (8)

容易看出这样构造出的p2(x)满足条件(6)。因 而他就是问题4的解2011-6-1 考试答卷 7

例3 利用100,121和144的开方值 求 115 解：用抛物插值，这里 x0=100,y0=10,x1=121,y1=11,x2=1 44,y2=12.令x=115代人式(8), 求得 115 近似值为10.7228.同精确值比较， 这里得到有4位有效数字的结果。

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3.一般情况进一步求解一般形式的问题2.仿照线性 进一步求解一般形式的问题 仿照线性 插值和抛物插值所采用的方法， 插值和抛物插值所采用的方法，仍从构 造所谓插值基函数入手.这里的插值基函 造所谓插值基函数入手 这里的插值基函 次多项式， 数lk(x)=0,1,2,…,n)是n次多项式，且满 是 次多项式 足条件 0, j ≠ k lk ( x j ) = δ kj = 1, j = k (9)

这表明除xk以外的所有节点都是lk(x)的零 n 点故lk ( x ) = c

∏

(x x j)考试答卷

j= 0 j≠ k

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即pn(x)满足插值条件(2).

该公式的形式对称，结构紧凑， n n n x xj p n ( x ) = ∑ y k lk ( x ) = ∑ (∏ ) yk (10 ) 因而容易编写计算程序.事实上， k =0 k =0 j=0 xk x j j≠ k 式(10)的逻辑结构上表现为二 事实上由于每个插值基函数lk(x)都是n次式， 重循环.内循环(j循环),然后 pn(x)的次数≤n,又据(9)式有 再通过外循环(k循环)累加得出 p (x) = ∑ y l (x ) = y 插值结果y.图1-3是拉格朗日方法 的算法图框.n n k =0 k k i i

∏ 这里∏的含义是累乘， 表示乘积遍取下标j 从0到除k以外的全部值. 式(10)称作拉格朗日插值公式. 利用插值基函数容易得出问题2的解j= 0 j≠ k

n

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开始 输入x 输入 (xi ,yi ) , i=0,1,2,…,n 0→y 0→k 1→tx xj t t xk xj j = 0, L ,k 1, k + 1, L ,n

y + t·yk →y

≠K=n? = 输出y 输出

k+1→k

图1-32011-6-1 考试答卷 结束 11

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