高等数学--2.3 无穷小量与无穷大量

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信息学院 第三节

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无穷小量与无穷大量

2.3.1 无穷小量的概念定义2:极限为零的变量在这个极限过程中称为 无穷小量。

例如： lim sin x 0 ,x 0

所以函数 sin x 是x 0 时的无穷小量.

lim所以函数

1 x

x

0,

1 x

是 x 时的无穷小量.1

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信息学院 lim ( 1) nn n

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0,

( 1) n 所以数列 n

是 n 时的无穷小量.

注意： 1.无穷小量是变量,不能与很小的数混淆; 2.零是可以作为无穷小量的唯一的数.

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信息学院x x0

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定理： lim f ( x ) A f ( x ) A ( x ),其 中 ( x ) 是 当 x x 0时 的 无 穷 小 量 .

证：必要性 设 lim f ( x ) A ,x x0

令 ( x ) f ( x ) A , 任给 , 存在δ ,

当0<|x x |<δ 时， 有 | f ( x ) A |< ,

则 | ( x ) 0 | | ( f ( x ) A ) 0 |< , lim ( x ) 0x x0

f ( x) A ( x)3

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罗捍东x x0

充分性: 设 f ( x ) A ( x ), 且 lim ( x ) 0 任给 , 存在δ , 当0<|x x |<δ 时有 | ( x ) 0 |< 成 立则 有 | f ( x ) A | | ( x ) |< 成 立

lim f ( x ) Ax x0

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信息学院意义：

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1.将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小); 2.给出了f (x)在x 附近的近似表达式,f ( x ) A , 误 差 为 ( x ).

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信息学院2.3.2 无穷小量的性质

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性质1: 有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 证： 设 及 是 当 x 时 的 两 个 无 穷 小 , 0, X 1 0, X 2 0, 使 得当当

x X 1时 恒 有 <x X 2时 恒 有

2;

;

<

2

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信息学院取 X m ax{ X 1 , X 2 },

罗捍东当 x X 时, 恒有

<

2

2

成立

0 (x )注意：无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.

1 1 1 例如： lim =1 n n n n其中每一个都是无穷小量。7

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罗捍东f (x) M

性质2:有界变量与无穷小的乘积还是无穷小. 证： 设 f (x)为有界变量，即存在M,使又 设 是 当 x x 0时 的 无 穷 小 ,

0, 0,

使 得 当 0 < x x0 < 时 , 恒 有 <

M

.

于 是 f ( x) 0 f ( x) <

M

M

lim f ( x ) 0x x08

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信息学院例1: 求 极 限 lim x sinx 0

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1 x

解: | sin

1 x

| 1 sin

1 x

有界变量

又 lim x 0x 0

lim x sinx 0

1 x

0 0

同 理 lim

arctan x 1 x2

x

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性质3: 有限个无穷小的乘积仍是无穷小.

证： 设 及 是 当 x

时 的 两 个 无 穷 小 , 0, 且 < 1, X 1 0, X 2 0,

使 得 当 x X 1时 ,恒 有 < ,

当 x X 2时 恒 有 < ,取 X m ax{ X 1 , X 2 }, 当 x X 时 , 恒 有

< < 成立 0 (x )

注意：无穷多个 无穷小的乘积未 必是无穷小!10

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信息学院2.3.3 无穷小的比较

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例: 当 x 0时 , x , 2 x , x 2 , x x 2 都 是 无 穷 小 量 .2x x

观 察 各 极 限

lim

x 0

2,2

lim

x

2

x 0

0

x

lim

x x x

x 0

1

极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.

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信息学院(1) 如 果 lim

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定义：若 , 是 同 一 过 程 中 的 无 穷 小 量 , 且 0 . 记 作 o ( ); 是 比 低 阶 的 无 穷 小 量 。 0, 就 称 是 比 高 阶 的 无 穷 小 量 ,

( 2 ) 如 果 lim

A ( A 0 ), 就 称 与 是 同 阶 的 无 穷 小 量 ;

如 果 A 1, 则 称 与 是 等 价 的 无 穷 小 量 ; 记 作 ~ 当 x 0时 , x 是 x的 高 阶 的 无 穷 小 量 ,即 x o ( x )2 2

2 x 是 x的 同 阶 的 无 穷 小 量 , x x 是 x的 等 价 的 无 穷 小 量 . x x ~ x .2 2

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信息学院2.3.4 无穷大量

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定义：在自变量的某一极限变化过程中，若函数f(x)的绝 对值无限增大，则称f(x)称为无穷大量。例如: lim 2 n , 当 n 时 , 2 n是 无 穷 大 量n

lim

x

2

x 1

x 1x

, 当 x 1时 ,

x

2

x 1x

是无穷大量

lim 2 , 当 x 时 , 2 是 无 穷 大 量x

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注意: 1.无穷大是变量 , 不能与很大的数混淆;2.切 勿 将 lim f ( x ) 认 为 是 极 限 存 在 .

3. 无穷大是一种特殊的无界变量 , 但是无界变量 未必是无穷大. 例如： 1 ,,,,,, 0 2 0 3 0

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2.3.5 无穷小与无穷大的关系定理: 在同一极限过程中,无穷大量的倒数为无穷小量; 恒不为零的无穷小量的倒数为无穷大量.即1) 若 lim f ( x ) , 则 lim 2 ) 若 lim f ( x ) 0 , 则 lim 1 f (x) 1 f (x) . 0;

意义: 关于无穷大量的问题，都转化为关于无穷小量的 问题来讨论。

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作业 : P51 8(2、3、6),