固体物理学能带理论小结
时间：2025-04-19
1)理解能带理论的基本假设和出发点; 2)布洛赫定理的描述及证明;3)三维近自由电子近似的模型、求解及波函数讨论; 4)紧束缚近似模型及几个典型的结构的计算; 5)明白简约布里渊区的概念和能带的意义及应用; 6)会计算能态密度。
能带理论
一、本章难易及掌握要求 要求重点掌握：
1）理解能带理论的基本假设和出发点； 2）布洛赫定理的描述及证明；
3）三维近自由电子近似的模型、求解及波函数讨论；
4）紧束缚近似模型及几个典型的结构的计算； 5）明白简约布里渊区的概念和能带的意义及应用； 6）会计算能态密度。 本章难点：
1）对能带理论的思想理解，以及由它衍生出来的的模型的应用。比如将能带理论应用于区分绝缘体，导体，半导体；
2）对三种模型的证明推导。 了解内容：
1）能带的成因及对称性； 2）万尼尔函数概念； 3）波函数的对称性。
二、基本内容 1、三种近似
在模型中它用到已经下假设：
1）绝热近似：由于电子质量远小于离子质量，电子的运动速度就比离子要大得多。故相对于电子，可认为离子不动，或者说电子的
1)理解能带理论的基本假设和出发点; 2)布洛赫定理的描述及证明;3)三维近自由电子近似的模型、求解及波函数讨论; 4)紧束缚近似模型及几个典型的结构的计算; 5)明白简约布里渊区的概念和能带的意义及应用; 6)会计算能态密度。
运动可随时调整来适合离子的运动。多体问题化为了多电子问题。
2）平均场近似：在上述多电子系统中，可把多电子中的每一个电子，看作是在离子场及其它电子产生的平均场中运动，这种考虑叫平均场近似。多电子问题化为单电子问题。
3）周期场近似：假定所有离子产生的势场和其它电子的平均势场是周期势场，其周期为晶格所具有的周期。单电子在周期性场中。 2、周期场中的布洛赫定理
1）定理的两种描述
当晶体势场具有晶格周期性时，电子波动方程的解具有以下性质：
ik Rn
形式一： (r Rn) e (r)，亦称布洛赫定理，反映了相邻原包之间
的波函数相位差
ik r
形式二： (r) eu(r)，亦称布洛赫函数，反映了周期场的波函数可
u(r) u(r Rn)uk(r)
用受调制的平面波表示.其中，Rn取布拉
维格子的所有格矢成立。
2）证明过程：
m m m a. 定义平移算符T，T(Rm) T11(a1)T22(a2)T33(a3)
的对易性。TH HT b． 证明T与H
共同本征态下的本征值 c.代入周期边界条件，求出T在T与H (r) (r N1a1)
。即 (r) (r N2a2) (r) (r N3a3)
ik a1
ik a2
ik a3
1 e, 2 e, 3 e
d. 将 代入T的本征方程中，注意T定义，可得布洛赫定理。
1)理解能带理论的基本假设和出发点; 2)布洛赫定理的描述及证明;3)三维近自由电子近似的模型、求解及波函数讨论; 4)紧束缚近似模型及几个典型的结构的计算; 5)明白简约布里渊区的概念和能带的意义及应用; 6)会计算能态密度。
ik (m1a1 m2a2 m3a3)m1m2m3
(r Rm) 1 2 3 (r) e (r)
ik r
(r)
euk(r)！
3） 波矢k的取值及其物理意义
l1 NjNjl3 l2
b2 b3 k b1 ，k是第一布里渊区的 lj
N1N2N322
波失，称简约波矢。其是平移算符本征值量子数，而
ik Rm
T(Rm) (r) (r Rm) e (r)
反映了元胞之间电子波函数位相的变
化。同时也可以得出如果一个势场是周期场，那么可以把其波函数设为布洛赫函数。 3、 近自由电子近似
1）思想：假设将周期场的周期起伏看作自由电子稳定势场的微扰 2）条件要求：原子的动能大于势能以使电子可以自由运动，势函数的的起伏很小，以满足微扰论适用，外层电子以满足电子可以自由运动。
3）模型建立过程：
首先，在零级近似下，考虑到周期性边界条件得到了波矢的允许取值，推出了能量的准连续性；
其次，由于考虑到二级微扰，而推出能量在布区边界处分裂，且发生了能级间的“排斥作用”，于是形成能带和带隙。
A、非简并情况下
1)由假设1>,2>可得系统的哈密顿量和薛定谔方程：
22
H H0 H'，H0 ，
2m
1)理解能带理论的基本假设和出发点; 2)布洛赫定理的描述及证明;3)三维近自由电子近似的模型、求解及波函数讨论; 4)紧束缚近似模型及几个典型的结构的计算; 5)明白简约布里渊区的概念和能带的意义及应用; 6)会计算能态密度。
微扰项：
H' V(x) V，满足的方程式: H E .
2)利用微扰论方法有设：其中：
Ek Ek0 Ek(1) Ek(2) .
，
k'|H'|k 2k2(2)(1)0
（K' K） Ek ，Ek k|H'|k 0，Ek 00
2mE Ek'kk'
2
设： k(x) k0(x) k(1)(x) . 其中：
k(x)
1L
eikx, k(1)
k'
k'|H'|k 0
k' （K' K） 00
Ek Ek'
4）结论：
n 2k20
'2能量本征值：Ek 2m nn
[k2 (k 2 )2]2ma
2
波函数： k(x)
1L
e
ikx
1L
e
ikx
n
n
[k2 (k 2 )2]2ma
2
Vn
n
i2 x
a
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