正切函数的性质与图象

卢氏县第一高级中学 李润红

教学目标：

知识与技能

1、会利用正切函数已有的知识（如定义、诱导公式、 正切线等）研究正切函数的性质

2、掌握正切函数的性质，会用正切函数的图象与性质解决相关问题

3、掌握画正切函数简图的方法

过程与方法

类比正、余弦函数的概念，引入正切函数的概念；在此基础上，根据正切函数已有的知识（如定义、诱导公式、正切线等）探究正切函数的性质；通过函数性质探究正切函数的图象；类比，联系正弦函数图象的作法，利用单位圆中的有向线段得到正切函数的图象；结合图象验证得到的正切函数性质.

情感态度与价值观

培养学生分析问题、解决问题的能力，培养学生数形结合的思想方法，培养学生类比的数学思想方法，培养学生研究函数的方法，培养学生欣赏数学美，调动学生学习的积极性及情感投入。

教学重点、难点、突破点：

重点：正切函数的性质及其图象

难点：

1、利用正切线研究正切函数的单调性、值域；

2、利用性质画出正切函数y=tanx ( x

2 k ， k∈Ｚ)的图象.

突破点：通过类比正、余弦函数的性质寻找新知生长点，建立新旧知识的联系，在理解概念的基础上充分结合图象，利用数形结合来扫清障碍.

教学方法：类比教学法、启发引导教学法、讲授教学法等

教学过程;

环节1 设置疑问，引入新课

1、角的正切是如何定义的？

角

2、角的正切：tan y(x 0) x正切线怎样定义？

3、类比我们已经学习的正弦函数、余弦函数的图象与性质，我们可以从哪些方面研究正切函数的性质？（周期性、奇偶性、单调性、值域）

函数图象的每一个几何特征都是函数性质的直观反映，函数的每一个代数性质反映在图象上都有其相应的几何特征；所以可借助于函数的图象来研究函数的性质；也可借助于函数的性质研究函数的图象，本节课我们从一个全新的角度来研究正切函数的性质与图象，即先性质后图象。

环节2 主动探究，解决问题

(一)正切函数的性质

1、定义域： x x

2 k , k ∈Ｚ

2、周期性：最小正周期是 tan(x+ )=tanx 不需证明

3、奇偶性：奇函数 定义域关于原点对称 且 tan(-x)=-tanx

4、单调性： 让学生观察正切线在区间（

（ 22,）的变化规律，结合正切函数的周期性得正切函数在开区间

2 k ,

2 k ), k ∈Ｚ内都是增函数。在此让学生分析为什么选择区间（ ,22）来研究问题。

思考1、正切函数在整个定义域内是增函数吗?为什么？

思考2、正切函数会不会在某一区间内是减函数？为什么？

5、值域：让学生观察正切线在区间（

（二）)正切函数的图象

1、画函数图象的一般步骤：

列表、描点、连线

2、画正切函数的图象点的纵坐标怎么找？

类比画正弦函数图象的方法利用正切线找点的纵坐标

3、多媒体演示画图过程并把所得图象向左、右扩展得正切函数图象即正切曲线。

4、师生共同观察正切曲线

结论：正切曲线是被相互平行的直线x=

5、正切曲线简图的画法

三点两线法 （-

（三）、思考与探究

请同学们从正切函数的图象分析正切函数的性质。

从图象出发，根据图象的形象直观数形结合，重新确认正切函数的性质，既能加深对性质的理解，又能体会数与形的统一。 环节3 通过典例，巩固基础

典例1、求函数y=tan( 22,）的变化规律得正切函数的值域是实数集R。 2 k , k∈Z所隔开的无穷多支曲线组成的 ,-1）,(0,0),( ,1), x=-, x= 4422 2x

3)的定义域、周期和单调区间。

典例2、利用正切函数的单调性比较下列两个正切值的大小: tan(- 3) 与 tan(- )； 57

典例3、观察正切曲线写出满足下列条件的x值的范围:

（1）tanx＜1

环节4 强化练习，加深理解

（分别请三位同学演板，检查学习效果）

1、求函数y=tan5x的定义域、周期和单调区间

2、利用正切函数的单调性比较下列各组中两个正切值的大小:

(1)tan138 与tan143 (2)tan(-1317 )与 tan(- ) 45

3、观察正切曲线，写出满足下列条件的x值的范围：

(1)tanx＞0; (2)tanx=0 ; (3)tanx＜0.

环节5 总结思考，提高能力

学生交流在本节课学习中体会、收获，交流学习过程中的体验、感受，师生合作共同完成小结 知识方面：正切函数的性质、图象特征。

方法方面：类比、数形结合、整体代换思想方法。

环节6 分层作业，拓展延伸

必做 ：教材46页6、7、8

选做 ：教材46页9

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