叶片式气动马达系统模型的建立

发布时间：2024-11-28

气动马达文献

叶片式气动马达系统模型的建立

徐开卓，赵新泽

（三峡大学机械与材料学院，湖北宜昌

４４３００２）

摘要：为了优化气动马达的结构设计，需要对其进行动态特性分析。通过对叶热力学定律和力矩平衡原理完成了片式气动马达进行分析，利用质量流量连续性、

其数学模型的建立，为对该类马达的动态特性分析和优化结构设计奠定了基础。

关键词：叶片式气动马达；流量连续性；热力学定律；力矩平衡；数学模型中图分类号：ＴＨ１３８．５１

文献标识码：Ａ

１

前言

叶片式气动马达目前广泛应用于矿山

及气动工具中。但由于其使用过程中存在低速不稳定性现象，限制了该类马达的使用范围。而对于某一设计的叶片式气动马达，通过对其进行动态特性分析可以达到优化结构设计的目的。具有正反转性能相同的叶片式气动马达，由于其结构的特殊性，动态数学模型的建立比较困难。至今还未见对于叶片式气动马达建模的相关报道。

Ｏ

２

叶片式气动马达的结构特点

图１是正反转性能相同的叶片式气动

马达结构示意图。它的两个进气口１和３对称布置，主排气口２位于进气口１和３的中间，其结构为两条宽为δ的狭长圆弧槽。规定从进气口１进气时为正转，此时废气从主排气口２排出，剩余气体从副排气口３排出。这样任意两相邻叶片构成的腔室运转一周可经历如下五个过程：①进气过程，②膨胀过程，③主排气过程，④压缩过程，⑤副排气过程。

作者简介：徐开卓（１９６７－），男，湖北随州人，高级工程师，０５级硕士研究生，研究方向：液压、气动及控制技术。

５凿岩机械气动工具，２００７（４）

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３

两相邻叶片间的腔室容积的计算

叶片式气动马达任意两相邻叶片间腔室

选定马达叶片个数为Ｚ＝７，并选定图２中各叶片所处的位置为初始位置进行研究，各叶片与定子、转子的接触点以及７个腔室的编号如图２所示。

由于在工作过程中，叶片式气动马达各腔室内的气体的热力过程极其复杂，因此，为

的理论截面积ｆＴ可按式（１）计算［１］。

ｆＴ＝ｅ２ｃｏｓ!ｓｉｎ!ｃｏｓ２"＋２ｅＲ×ｓｉｎ!ｃｏｓ"

ｅ２－ｒ２!ｅ２２＋Ｒ（１）＋－×ｃｏｓ!ｓｉｎ!式中ｆＴ———相邻两叶片间腔室的面积，ｍ２

!——定子半径，ｍＲ—

——转子半径，ｍｒ—

ｅ——偏心距，ｍ

——叶片数量Ｚ—

——任意两相邻叶片间的夹角的"—

平分线与ｏｙ（ｏｙ１）的夹角ｒａｄ，（见图１），规定顺时针时为正值。

当考虑叶片厚度δ的影响时，用腔室面积收缩系数λ修正。

图２

叶片式气动马达研究位置示意图

λ＝１－#Ｚ

则腔室容积为：Ｖ＝λｂｆＴ

式中

——转子长度，ｍｂ—由式（２）得：

了使问题简化，作如下假设：

（２）

（１）工作介质空气为理想气体，各参数满足理想气体的状态方程ＰＶ＝ｍＲＴ；

（２）在工作过程中，各腔室内气体与外界无热交换，将其简化成绝热过程；

（３）气源压力Ｐｓ恒定，气源温度Ｔｓ为环境温度；

（４）各腔室的内外泄露均忽略不计。根据以上假设来建立叶片式气动马达的数学模型。

!ｓｉｎ"．（４）ｉ"ｉ式中Ｖｉ———第ｉ腔室的容积，ｍ３

——第ｉ腔室两叶片夹角平分线与"ｉ—

ｏｙ（ｏｙ１）的夹角，ｒａｄ

．ｄ""ｉ＝

＋２ｅＲ×ｓｉｎ

Ｖｉ＝$ｂｅｃｏｓｓｉｎｃｏｓ２%ｉ＋２ｅＲ

ｅ２

×ｓｉｎ!ｃｏｓ"ｉ＋Ｒ２＋－ｒ２!

２

－ｅ×ｃｏｓ!ｓｉｎ!（３）ｄＶｉ＝－$ｂｅ２ｓｉｎ２!ｓｉｎ２"

ｉ

２

４．１腔室的流量连续性方程

根据质量守恒定律，流入、流出各腔室

的质量流量应等于此腔室的质量变化率。即：

４

数学模型的建立

凿岩机械气动工具，２００７（４）

ｑｉｍ＝ｄｍｉ＝ｄ（&ｉＶｉ）

式中ｑｉｍ———流入（流出）第ｉ腔室的质量流

量，ｋｇ／ｓ

——第腔室的气体质量，ｋｇｍｉ—

６

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——第ｉ腔室的气体密度，ｋｇ／ｍ３!ｉ—

——第ｉ腔室的容积，ｍ３Ｖｉ—

４．２腔室的压力微分方程

根据以上假设，由热力学第一定律得：

!ｓｉｎ#．×ｓｉｎ２#４＋２ｅＲｓｉｎ４#４

腔室５：（腔内气体绝热压缩）

（１１）

（５）ｄＱ＋ｈｓｄｍｓ＝ｄＵ＋ｄＷ＋ｈｄｍ

式中ｈｓ，ｈ———为流进、流出腔室１ｋｇ气体

所带进、带出的能量，Ｊ／ｋｇ

——气源流进腔室的气体质量，ｋｇｄｍｓ—

——从腔室流出的气体质量，ｋｇｄｍ—

——腔室内气体内能增量，ＪｄＵ—

——腔室内气体所作的膨胀功，ＪｄＷ—

——腔室内气体与外界相互交ｄＱ—

换的热量［２］，Ｊ

对于绝热充气：ｄＱ＝０，如只充气无放气，则ｄｍ＝０，由式（５）可得：

（６）ｄＰ＝－ｋＲＴｓｄｍｓ－ｋＰｄＶ对于绝热放气：ｄＱ＝０，如只放气无充气，则ｄｍｓ＝０，由式（５）可得：

（７）ｄＰ＝ｋＲＴｄｍ－ｋＰｄＶ

在图２中，根据式（５）、（６）、（７）可写出腔室１￣７的压力微分方程：

腔室１：（进气腔）．．１＋ｋＰ１ｂ"ｅ２ｓｉｎ２!Ｐ１＝ｋＲＴｓｍ０１０１!ｓｉｎ#．（８）×ｓｉｎ２#１＋２ｅＲｓｉｎ１#１腔室２：（进气结束，绝热膨胀开始）．ｋＰ２ｂ"ｅ２２!

ｓｉｎＰ２＝ｓｉｎ２#２２式中

Ｐ５＝ｋＰ５ｂ"

５

．

ｅ２

ｓｉｎ２!ｓｉｎ２#５ｓｉｎ#．＋２ｅＲ×ｓｉｎ５#５"

（１２）

腔室６：（在副排气区绝热排气）

．ｅ２ｋＲＴｋＰ６６ｂ"Ｐ６＝－ｍ６＋ｓｉｎ２!

０６０６．!

×ｓｉｎ２#６＋２ｅＲｓｉｎｓｉｎ#６#６（１３）

．

腔室７：（在副排气区绝热排气）

．ｅ２ｋＲＴｋＰ７７ｂ"Ｐ７＝－ｍ７＋ｓｉｎ２!

０７０７．!

×ｓｉｎ２#７＋２ｅＲｓｉｎｓｉｎ#７#７（１４）

——进气腔（副排气腔）的余隙，ｍ３Ｖ０—

——第ｉ腔室的气体压力，ＰａＰｉ—

——第ｉ腔室的气体温度，ＫＴｉ—．ｍｉ＝ｄｍｉ

．ｄＰ

（ｉ＝１￣７）Ｐｉ＝ｉ

．

４．３气动马达转矩平衡方程

叶片式气动马达的转矩平衡方程为：

＋２ｅＲ×ｓｉｎ

!ｓｉｎ#．２#２

（９）

（１５）Ｍ＝Ｊ#＋ＢＬ#＋Ｍｆ＋ＭＦ

式中Ｍ———气动马达产生的总理论转矩，

ｍＮ

——气动马达和负载（折算到马达Ｊ—

轴上）的总转动惯量，ｋｇｍ２

——粘性摩擦系数，ＮＢＬ—ｍｓ／ｒａｄ

——摩擦力转矩（静摩擦力矩或库Ｍｆ—

仑摩擦力矩），Ｎｍ

．．．

腔室３：（在主排气区绝热排气）

．Ｐ３＝－ｋＲＴ３ｍ３＋ｋＰ３ｂ"

３３

×ｓｉｎ２#３＋２ｅＲｓｉｎ

．

!ｓｉｎ#．３#３

ｅ２

ｓｉｎ２!"

ＭＦ——作用在马达轴上的外负载转

矩，Ｎｍ

在图２中，气体作用在叶片上的力矩可

（１０）

用下式表达［３］：

２

Ｍｉ＝ｂ（Ｒｉ－ｒ２）（Ｐｉ－Ｐｊ）

腔室４：（在主排气区绝热排气）

（１６）

Ｐ４＝－ｋＲＴｍ４＋ｋＰｂ"

４４

７

．

ｅ２

ｓｉｎ２!Ｍ＝#Ｍｉ

ｉ＝１

７

凿岩机械气动工具，２００７（４）

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式中

——第ｉ个叶片两端腔室的压Ｐｉ，Ｐｊ—

力，Ｐａ，按叶片旋转方向，ｊ＝

ｉ＋１（１≤ｉ≤６），当ｉ＝７时ｊ＝１，

——第ｉ个叶片末端与定子的Ｒｉ—

接触点到转子的距离，ｍ由式（１６）、图２可得：

Ｍ＝ｂ（ＡＰ１＋ＢＰ２＋ＣＰ３＋ＤＰ４＋ＥＰ５＋ＦＰ６＋ＧＰ７）式中

．．．!Ｐ７＝－ｋＲＴ!ｍ７－ｋｂ$ＰＨ!!（２５）

０７００７０２

式中Ｈｉ＝ｅｓｉｎ２"ｓｉｎ２!ｉ０＋２ｅＲ

（ｉ＝１￣７）×ｓｉｎ"ｓｉｎ!ｉ０

由ＰＶ＝ｍＲＴ得：

（２６）ｍ３＝Ｐ３Ｖ３

３

因为Ｐ／Ｔ式中

ｋＡ＝２－２Ｂ＝２－２Ｃ＝２－２Ｄ＝２－２Ｅ＝２－２

Ｆ＝２－２Ｇ＝２－２故式（１５）可变为：．．ＢＬ．ｂ

（ＡＰ１＋ＢＰ２＋ＣＰ３＋ＤＰ４!＝－!＋＋ＥＰ５＋ＦＰ６＋ＧＰ７）－１（Ｍｆ＋ＭＦ）（１７）

＝Ｃ

——常数Ｃ—ｋ＝１．４所以

Ｔ３＝Ｔ１

１ｋ－１Ｐ３１

ｋ－１

（２７）

将式（２７）代入式（２６）得：

ｍ３＝

Ｐ３Ｐ１Ｖ３

１

．ｍ

ｄｍ＝１３＝

１＋ｋ－１

１Ｐ１３

ｋ－１Ｖ３Ｐ３Ｖ３

．

４．４微分方程组的线性化

根据!的定义和"的方向可知：

Ｐ３１

１１Ｖ３Ｐ１＋Ｐ３Ｐ１

ｋ－１１０３０

．

１ｋ－１．

（２８）

!１＝!２＝!３＝!４＝!５＝!６＝!７＝－!（１８）

将式（１８）代入式（８）￣（１４）后并对其进行线性化处理得：（线性化处理时，代入初始

［４］

．．．

．．．．．

&ｍ３＝×Ｐ３０

１０

．

１１０

３０

Ｐ１Ｖ３０&Ｐ３＋ｋ－１

．

值：

ｄＶｄＰ

＝０；"＝０；（Ｐ）＝Ｐ；（Ｖ）＝Ｖ；"ｉ

ｉ

ｉ０

０

Ｖ

&Ｐ１＋ｂ$Ｐ３０Ｐ１０Ｈ３&!

．

１

ｋ－１．

将式（１９）、式（２１）代入式（２８）整理得：

ｉ＝１￣７）

．ｋｂ#ＰＨ．ｋＲＴ!Ｐ１＝!ｍ１－!!（１９）

０１００１０

．．

（２０）!Ｐ２＝－ｋｂ$ＰＨ!%

２０

．．．!Ｐ３＝－ｋＲＴ３０!ｍ３－ｋｂ$Ｐ３０Ｈ３!!（２１）

３０３０

．．$ｋＲＴｋｂＰ４０．４０Ｈ４!Ｐ４＝－!ｍ４－!!（２２）

４０４０

．．

（２３）!Ｐ５＝－ｋｂ$Ｐ５０Ｈ５!!

５０

．．．

!Ｐ６＝－ｋＲＴ６０!ｍ６－ｋｂ$Ｐ６０Ｈ６!!（２４）

０６００６０

．

&ｍ３＝（ｋ－１）Ｖ３０

０１０１．Ｐ

&ｍ３０１０ｋ－１

１１

（ｋ－１）ｂ$Ｖ３０Ｐ３０Ｐ１０Ｈ１．&!－

１００１０用同样的方法可得：

１（２９）

．&ｍ４＝（ｋ－１）Ｖ４０

０１０１．Ｐ

&ｍ４０１０ｋ－１

１

－

（ｋ－１）ｂ$Ｖ４０Ｐ４０Ｐ１０Ｈ１．&!１００１０（３０）

凿岩机械气动工具，２００７（４）

８

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．!ｍ６＝（ｋ－１）（Ｖ０＋Ｖ６０）

０１０１．Ｐ

!ｍ６０１０ｋ－１

１则有：

１

ｘ１＝ｘ２，

（３１）

．

－

（ｋ－１）（Ｖ０＋Ｖ６０）ｂ"Ｐ６０Ｐ１０Ｈ１．

１０（０１０）

１７０１０

．．．．"ｘ３＝－ＢＬ!$＋Ａ!Ｐ１＋Ｂ!Ｐ２＋Ｃ!Ｐ３

．．．．＋Ｄ!Ｐ４＋Ｅ!Ｐ５＋Ｆ!Ｐ６＋Ｇ!Ｐ７!

２ＡＰＨ＝ｋｂ"－－ＢＰ２０Ｈ２

０１０２０

．ｘ２＝ｘ３．．ｂ

．!ｍ７＝（ｋ－１）（Ｖ０＋Ｖ７０）Ｖ６０

０１０１ｋ－１．Ｐ

!ｍ１

－

（ｋ－１）（Ｖ０＋Ｖ７０）ｂ"Ｐ７０Ｐ１０Ｈ１．!$

１０（０１０）

（３２）

将式（２９）代入式（２１）；式（３０）代入式（２２）；式（３１）代入式（２４）；式（３２）代入式（２５）整理后式（１９）￣（２５）可变为：

－ＣＰ３０Ｈ３－ＤＰ４０Ｈ４－ＥＰ５０Ｈ５

３０４０５０

－ＦＰ６０Ｈ６－ＧＰ７０Ｈ７

０６００７０

．（ｋ－１）Ｈ１（

×ＣＰ３０＋ＤＰ４０＋ＦＰ６０＋ＧＰ７０）!$＋

０１０#

．%Ｐ１＝ｋＲＴ!ｍ１－ｋｂ"ＰＨ!$

０１００１０

．．"ｋｂＰＨ!Ｐ２＝－!$

２０

!Ｐ３＝－ｋ（ｋ－１）ＲＴ（０１０）

．．

（３３）（３４）

式中

．

．ｋｂ"ＰＨ（）"

＋ｋｋ－１ｂＰ３０Ｈ１－!$（３５）

３００１０Ｐ３０１０

．!ｍ

１２Ａ

＋ｋ（ｋ－１）ＲＴ１０ｂ－ＣＰ３０

０１０１０

．．ＦＰ６０－ＧＰ７０

!ｍ１－Ｂ!$－ＤＰ－

１０１０．．．．＝Ｌ!$－Ｎ!$＋Ｗ!ｍ１

１

．

１

!Ｐ４＝－ｋ（ｋ－１）ＲＴ（０１０）

（）

＋ｋｋ－１ｂ"Ｐ４０Ｈ１

０１０．．"Ｐｋｂ５０Ｈ５

!Ｐ５＝－!$

５０

．

．Ｐ

!ｍ．ｋｂ"ＰＨ

－!$（３６）#４０１０

４０

１

（３７）

１６０１０

!Ｐ６＝－ｋ（ｋ－１）ＲＴ６０

０１０（）"

＋ｋｋ－１ｂＰ６０Ｈ１

０１０．

．Ｐ

!ｍ．ｋｂ"ＰＨ

－!$（３８）#１

６０

６

０

６０１

２ＡＰ１０Ｈ１

Ｌ＝ｋｂ"－－ＢＰ２０Ｈ２

０１０２０

－ＣＰ３０Ｈ３－ＤＰ４０Ｈ４－ＥＰ５０Ｈ５

３０４０５０

－ＦＰ６０Ｈ６－ＧＰ７０Ｈ７

０６００７０（ｋ－１）Ｈ１（

×ＣＰ３０＋ＤＰ４０＋ＦＰ６０＋ＧＰ７０）＋

０１０Ｎ＝ＢＬ

２Ａ

－ＣＰＷ＝ｋ（ｋ－１）ＲＴｂ

（０１０）１０

ＧＰ７０

－ＤＰ４０－ＦＰ６０－

１０１０

以!ｍ１为输入，!$为输出，其状态空间方程为：

．

!Ｐ７＝－ｋ（ｋ－１）ＲＴ７０

０１０（）"７０７

＋ｋｋ－１ｂＰ７０Ｈ１

０１００４０

对式（１７）进行线性化处理得：

．．．

!$＝－ＢＬ!$＋ｂ（Ａ!Ｐ１＋Ｂ!Ｐ２＋Ｃ!Ｐ３

!ｍ

．ｋｂ"ＰＨ

－!$（３９）#Ｐ１０

１

．

０１０(ｘ１((%%)&＝&００１)ｘ２)＋)&)&)

０Ｌ－Ｎ*ｘ３**’’

ｘ１(%．

ｙ＝!$＝［０１０］&ｘ２)&)

’ｘ３*

ｘ１%

．&ｘ２&．ｘ３’

．

０(%

&０)ｕ&)Ｗ*’

在叶片式气动马达的结构参数、气源压

（１７）

力和温度已知的情况下，可以计算出在初始位置处各腔室内气体的工艺参数（压力、温

凿岩机械气动工具，２００７（４）

＋Ｄ!Ｐ４＋Ｅ!Ｐ５＋Ｆ!Ｐ６＋Ｇ!Ｐ７）

．．．．．令ｘ１＝!$，ｘ２＝ｘ１＝!$，ｘ３＝ｘ２＝!$。

９

气动马达文献

紧凑结构ＮＧＷ型行星减速器的设计

高学径，马文瑾

（天水凿岩机械气动工具研究所，甘肃天水

７４１０２０）

摘要：行星齿轮传动具有减速比大、传动效率高、结构小巧、承载能力强等优点。通用设计资料（如机械设计手册）针对该种减速器的相关数据凌乱分散，而且缺乏对太阳轮齿数太少的ＮＧＷ型行星减速器结构的介绍。本文对收集到的设计资料，结合气动工具行业的特点作了整理，以方便ＮＧＷ型行星减速器，特别是对结构尺寸有严格要求的ＮＧＷ型行星减速器的设计。

关键词：ＮＧＷ型行星减速器；齿轮变位系数；模数；等角变位；不等角变位；多级串联减速结构

中图分类号：ＴＨ１３２．４１

文献标识码：Ａ

行星齿轮传动具有减速比大、传动效率高、结构小巧、承载能力强等优点，常常应用在产品设计中。由于设计计算比较复杂、需要考虑的因素多，每次设计时都要收集许多资料“学习”一番。通用设计资料由于涉及种类全面造成针对该种减速器相关数据凌乱分散，太阳轮齿数太少的行星齿本人对收集轮减速器结构，缺乏专门介绍。

到的设计资料，结合气动工具行业的特点

作了整理，以方便ＮＧＷ型行星减速器，特别是对结构尺寸有严格要求的ＮＧＷ型行星减速器的设计。

ＮＧＷ型行星减速器又称２Ｚ－Ｘ负号机

构型行星减速器，适于１．１３￣１３．７传动比的

减速，推荐值：ｉＡＸ＝２．７￣９，传动效率０．９７￣传０．９９，在各类行星减速器中属结构简单、递功率范围大，体积小，效率高的一种。机

Ｂ

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度），这样就很方便地计算出Ｌ、Ｎ和Ｗ，从而得到这个系统的具体数学模型，然后通过这个数学模型，利用Ｍａｔｌａｂ的ｓｉｍｕｌｉｎｋ模块可对其进行动态特性分析。