第三章第 4讲

函数

二次函数

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1.(2013 深圳)二次函数y ax 2 bx c的部分对应值如下表： 则当x 2时对应的函数值y _______ . -8

xy

… …

-3 7

-2 0

0 -8

1 -9

3 -5

5 7

… …

1 2.(2013 湛江)抛物线y x2 1的最小值是 _______.

3.若一次函数y ax b(a 0)的图象与轴的交点坐标为( 2,0), 则抛物线的对称轴为( C ) A.直线x 1 B.直线x 2 C.直线x 1 D.直线x 44.(2013 毕节)将二次函数y x 2的图象向右平移一个单位长度, 再 向上平移3个单位长度所得的图象解析式为( A ) A. y ( x 1) 2 3 C. y ( x 1) 2 3 B. y ( x 1) 2 3 D. y ( x 1) 2 3课前小练 知识梳理 课堂精讲 过关测试

5.把二次函数y ( x 1) 2 2的图象绕原点旋转180 后得到的2 y ( x 1) 2 图象解析式为_______________.

6.在二次函数y x 2 2 x 1的图象中,若y随x的增大而增大, 则x的取值范围是( A ) A.x 1 B.x 1 C.x 1 D.x 17.(2014 南宁)已知二次函数y ax 2 bx c(c 0)的图象如图所示, y 下列说法错误的是( D ) A.图象关于直线x 1对称 B.函数y ax 2 bx c(c 0)的最小值是 4 C. 1和3是方程ax 2 bx c 0(c 0)的两个根 D.当x 1时,y随x的增大而增大课前小练 知识梳理

-1-4课堂精讲

1

x

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8.(2014 广东)二次函数y ax 2 bx c(a 0)的大致图象如图所示, 关于该二次函数,下列说法错误的是( D ) A.函数有最小值 B.对称轴是直线x 1 2

1 C.当x 时,y随x的增大而减小 2y

D.当 1 x 2时,y 0

-1

2x

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一、二次函数 1.二次函数的概念. 2 y ax bx c 形如____________________( 函数,叫做二次函数.

a , b , c 是常数, a 0 )的

2.二次函数的三种表示方法. 表达式法 、图象法和______________. 数表法 ___________ 3.二次函数的图象和性质. 函数

y ax 2 bx c(a 0)

a的值

a 0y

a 0y

图象

x

x

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开口 对称轴 顶点 坐标

向上 ________

向下 _________

b x _________________ 2a

b x 2a

b 4ac b ( , ) 2a 4a ___________________2

b 4ac b2 ( , ) 2a 4a当x 而增大 b 时,y随x的增大 2a

当x

b 时,y随x的增大 2a

增减性

b b x 时,y随x的增大 当_________ 时,y随x的增大 当_________ x 2a 2a 而减小 而减小4ac b2 y最小

小 值,即 __________. 有最 ____ 4a 有最大值 y最大课前小练 知识梳理

而增大

最值

4ac b2 4a过关测试

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二、系数 a , b, c 和 的符号 1.系数 a , b, c 的几何意义. a 的符号决定抛物线的开口方向 (1)开口方向:________ (2)当 a , b同号,对称轴在 y 轴_____ 左 边;当 a , b异号,对称 右 边. 轴在 y 轴____ c 的符号确定抛物线与 y 轴的交点在正半轴或 (3)______ 负半轴或原点.

2.二次函数与一元二次方程中 的关系.

b 2 4ac

ax 2 bx c 0(a 0) 的根的个数两个不相等的实数根 有两个相等的实数根____________________

抛物线y ax 2 bx c 0 (a 0)与x轴的交点个数____________________

0 0 0

两个

不存在课前小练 知识梳理

_____________课堂精讲 过关测试

一个 无交点

三、二次函数的解析式 1.待定系数法求二次函数的解析式. 已知的条件 抛物线上的三点 选择的表达式2 y ax bx c(a 0) 一般式_____________________________

2 y a ( x h ) k (a 0) 顶点或对称轴、最大(小)值 顶点式_____________________

抛物线与

x 轴的两个交点

y a( x x1 )( x x2 )(a 0)

交点式____________________________

2.二次函数的平移与解析式的关系.

y ax 的图象 y a ( x h)2上 k 0) 或向下 ( k 0) 向 ______( 平移个 k 单位

向 ______( h 0)或向右 ( h 0) 左 平移个 h 单位

2

的图象 y a ( x h) k的图象.2

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四、二次函数的综合运用 1.从实际问题中抽象出二次函数,并能利用二次函数的最 值问题解决实际问题中的最值问题. 2.二次函数综合几何图形,要充分抓住几何图形的特点并 结合二次函数图象的特点才能有效解决问题.二次函数综 合动点问题,要弄清楚在动的过程中,什么变了,什么没变 .动中求静才能有效解决问题. 【学有奇招】 1.通过配方,可以确定顶点坐标,对称轴,进而可以找出抛 物线的平移规律,所以掌握配方法非常重要. 2.二次函数的图象性及单调性的规律:确定抛物线的对称 轴及开口方向.当抛物线开口向下的时候离对称轴越近, 对应的函数值越大;当抛物线开口向上的时候离对称轴越 近,对应的函数值就越小.课前小练 知识梳理 课堂精讲 过关测试

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考点1:求二次函数的解析式 2 例1.已知抛物线y x bx c经过点A(3,0), B( 1,0).

(1)求抛物线的解析式; (2)求抛物线的顶点坐标.思路分析:(1)根据抛物线y x 2 bx c经过点A(3,0), B( 1,0), 直接得出抛物线的解析式为:y ( x 3)( x

1), 再整理即可. (2)根据抛物线的解析式为y x 2 2 x 3 ( x 1)2 4, 即可得出答案.答案:(1)解法一: 抛物线y x 2 bx c经过点A(3, 0), B( 1, 0),

{ 1 b c 0

9 3b c 0

解得

{c=3

b 2

抛物线的解析式为y x 2 2 x 3 解法二:抛物线的解析式为y ( x 3)( x 1).课前小练 知识梳理 课堂精讲 过关测试

(2)由y x2 2 x 3 ( x 1)2 4得抛物线的顶点坐标为(1, 4).

方法指导:此题考查了用待定系数法求函数的解析式,用到的 知识点是二次函数的解析式的形式,关键是根据题意选择合适 的解析式.

考点2:二次函数的图象与系数的关系例2.已知二次函数y ax 2 bx c的图象如图所示,它与轴的两个 交点分别为( 1, 0), (3, 0).对于下列命题:①b 2a 0; ②abc 0; ③a 2b 4c 0; ④8a c 0.其中正确的有( A.3个 B.2个 C.1个 y-1 3

)

D.0个

x知识梳理 课堂精讲 过关测试

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思路分析：首先根据二次函数图象开口方向可得a 0,根据图 b 象与y轴交点可得c 0,再根据二次函数的对称轴x ,结 2a 合图象与x轴的交点可得对称轴为x 1,结合对称轴公式可判断 出①的正误;根据对称轴公式结合a的取值可判定出b 0, 根据 a、b、c,根据的正负即可判断出②的正误;利用b 2a 0和 a b c 0时,求出c 3a确定a 2b 4c 0,再利用c 3a代 入8a c 5a可得8a c 0.

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b 答案:根据图象可得:a 0,c 0,对称轴:x 0, 2a ① 它与x轴的两个交点分别为( 1, 0), (3, 0), b 对称轴是x 1, 1, b 2a 0,故①错误; 2a ② a 0, b 0, c 0, abc 0, 故错误; ③ ④ b 2a 0, 又a b c 0, a 2a c 0, c 3a a 0, a 2b 4c a 4a 12a 7a 0, ③正确. 8a c 8a 3a 5a 0, 8a c 0, ④正确. 故正确的有:③④.故选B.

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