在数学的天地里，重要的不 是我们知道什么，而是我们怎么 知道什么。

——毕达哥拉斯

18.1.2 平行四边形的判定(1)

开 动 脑 筋

有一天,李老师的儿子从幼儿园放学来到办 公室,看到郑老师办公桌上一块平行四边形纸 片,于是就拿起笔来画画,画了一会儿,对自已 的作品不满意撕去了一些,巧的是刚好从A、C 两个顶点撕开。你只有两把没刻度的直尺， 你能帮它补好吗？ D A

∵AB∥CD B BC ∥AD ∴四边形ABCD是平行四边形

C

平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫 做平行四边形.

有两组对边分别平行的四边形 叫做 平行四边形A D

如果B

A C ABCD

D

A B O

D C

B

AB∥CD C AD∥BC 四边形ABCD

边平行四边形 的性质：

平行四边形的对边平行 平行四边形的对边相等 平行四边形的对角相等

∵四边形ABCD 是平行四边形 A C 0 OA OC ∴∴ AB=CD AB ∥CD A B 180 OB OD B∥ D AD=BC AD BC

角

平行四边形的邻角互补对角线 平行四边形的对角线互

相平分

开 动 脑 筋

有一天,李老师的儿子从幼儿园放学来到办 公室,看到郑老师办公桌上一块平行四边形纸 片,于是就拿起笔来画画,画了一会儿,对自已 的作品不满意撕去了一些,巧的是刚好从A、C 两个顶点撕开。你只有尺规，你能帮它补好 吗？ D A

∵AB=CD B BC =AD ∴四边形ABCD是平行四边形

C

通过以上活动你得到了什么结论？A D

B

C

命题1:两组对边相等的四边形是平行四边形

已知：四边形ABCD, AB=CD,AD=BC 求证：四边形ABCD是平行四边形证明：连结AC, ∵ AB=CD,AD=BC (已知) 又∵ AC=AC (公共边) ∴△ABC≌△CDA(SSS)B A D

1 4 3 2C

∴∠1=∠2,∠3=∠4(全等三角形的对应边相等)∴ AB∥CD,AD∥BC (内错角相等，两直线平行)

∴四边形ABCD是平行四边形

平行四边形判定 平行四边形的判定定理1:

两组对边分别相等的四边形是平行 四边形。

A B C

D∵AB=CD,AD=BC(已知) ∴四边形ABCD是平行四边形(两 组对边分别相等的四边形是平行四 边形。)

如图，AB =DC=EF, AD=BC,DE=CF,则 图中有哪些互相平行的线段？A D E B C F

AB ∥ DC∥ EF AD ∥ BC DE ∥ CF

学习了平行四边形后，小明回家用细木 棒钉制了一个。第二天，小明拿着自己动手 做的平行四边形向同学们展示。 小辉却问：你凭什么确定这四边形就是 平行四边形呢？ 大家都困惑了……

小锋提议：我们可以度量它的角，如果它的两组对 角分别相等，那么它就是一个平行四边形。 已知：四边形ABCD,A D

∠A=∠C,∠B=∠D求证：四边形ABCD是 平行四边形B C

∠A+ ∠B +∠C+ ∠D =360 ° ∠A+ ∠D=180 ° ∠A+ ∠B=180 °AB∥CD AD∥BCABCD

已知：

四边形ABCD, ∠A=∠C,∠B=∠D 求证：四边形ABCD是平行四边形 证明： ∵∠A=∠C,∠B=∠D(已知) A 又∵∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D =360 ° ∴ 2∠A+ 2∠B=360 ° 即∠A+ ∠B=180 ° B C ∴ AD∥BC (同旁内角互补，两直线平行)同理可证AB∥CD ∴四边形ABCD是平行四边形

D

平行四边形判定 平行四边形的判定定理2:

两组对角分别相等的四边形是平行 四边形。

A B C

D∵ ∠A=∠C, ∠B=∠D (已知) ∴四边形ABCD是平行四边形(两 组对角分别相等的四边形是平行四 边形。)

小丽却说：“我可以不用任何作图工具， 只要两条细绳就能判断它是不是平行四边形。” 只见小丽用两条细绳做四边形的对角线， 并在两条对角线的交点处作了个记号。然后分 别把两条对角线沿记号点对折，发现它们被记 号点分成的两段线段都能重合，小丽高兴地说： “这的确是个平行四边形！”你认为小丽的做法有根据吗？

已知：四边形ABCD, AC、BD交于点O 且OA=OC,OB=OD 求证：四边形ABCD是平行四边形证明：∵ AO = CO ,BO = DO ,∠1 = ∠2A

D

3B

1

O

4 2C

∴△AOB≌△COD ∴ ∠3 = ∠4 ∴AB ∥ CD

同理AD ∥ BC ∴四边形ABCD是平行四边形 (两组对边分别平行的四边形是平行四边形)