小初高试卷教案类

K12小学初中高中 知能专练（十一） 数列的综合应用

一、选择题

1．(2018届高三·金华十校联考)已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且满足a 1＝1，a 2＝3，a n ＋2＝3a n ，则S 2 018＝( )

A ．2×3

1 009－

2 B ．2×31 009 C.32 018－12 D.32 018＋12

解析：选A 由a n ＋2＝3a n 可得数列{a n }的奇数项与偶数项分别构成等比数列，所以S 2 018＝(a 1

＋a 3＋…＋a 2 017)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2 018)＝1－31 0091－3＋－3 1 0091－3＝(－2)×(1－31 009)＝2×31 009－2.

2．(2017·长沙质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，当n ≥2时，a n ＋2S n －1＝n ，则S 2 017的值为( )

A ．2 017

B ．2 016

C ．1 009

D ．1 008

解析：选C 因为a n ＋2S n －1＝n ，n ≥2，所以a n ＋1＋2S n ＝n ＋1，两式相减得a n ＋1＋a n ＝1，n ≥2.又a 1＝1，所以S 2 017＝a 1＋(a 2＋a 3)＋…＋(a 2 016＋a 2 017)＝1 009.

3．数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)

n －1·(4n －3)，则它的前100项之和S 100＝( ) A ．200

B ．－200

C ．400

D ．－400

解析：选B S 100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200.

4．我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：

第一步：构造数列1，12，13，14， (1)

.① 第二步：将数列①的各项乘以n ，得数列(记为)a 1，a 2，a 3，…，a n .

则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n ＝( )

A ．n 2

B ．(n －1)2

C ．n (n －1)

D ．n (n ＋1) 解析：选C a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n

＝n 1·n 2＋n 2·n 3＋…＋n n －1·n n

＝n 2⎣⎢⎡⎦

⎥⎤11×2＋12×3＋…＋1n －1n

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K12小学初中高中 ＝n 2⎝ ⎛⎭

⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＝n 2·n －1n

＝n (n －1)． 5．设a n ＝1n sin n π25

，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，在S 1，S 2，…，S 100中，正数的个数是( ) A ．25

B ．50

C ．75

D ．100

解析：选D 当1≤n ≤24时，a n >0，当26≤n ≤49时，a n <0，但其绝对值要小于1≤n ≤24时相应的值，当51≤n ≤74时，a n >0，当76≤n ≤99时，a n <0，但其绝对值要小于51≤n ≤74时相应的值，∴当1≤n ≤100时，均有S n >0.

6．(2017·全国卷Ⅰ)几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，…，其中第一项是20

，接下来的两项是20,21，再接下来的三项是20,21,22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是( )

A ．440

B ．330

C ．220

D ．110 解析：选A 设第一项为第1组，接下来的两项为第2组，再接下来的三项为第3组，依此类推，则第n 组的项数为n ，前n 组的项数和为n n ＋2. 由题意可知，N >100，令n n ＋2>100， 得n ≥14，n ∈N *，即N 出现在第13组之后．

易得第n 组的所有项的和为1－2n 1－2

＝2n －1，前n 组的所有项的和为－2n 1－2－n ＝2n ＋1－n －

2.

设满足条件的N 在第k ＋1(k ∈N *，k ≥13)组，且第N 项为第k ＋1组的第t (t ∈N *)个数， 若要使前N 项和为2的整数幂，则第k ＋1组的前t 项的和2t －1应与－2－k 互为相反数， 即2t －1＝k ＋2，∴2t ＝k ＋3，∴t ＝log 2(k ＋3)，

∴当t ＝4，k ＝13时，N ＝＋2＋4＝95<100，不满足题意； 当t ＝5，k ＝29时，N ＝＋2＋5＝440； 当t >5时，N >440，故选A.

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K12小学初中高中

二、填空题

7．(2018届高三·浙江名校联考)数列{a n }满足a 1＝1，且对于任意的n ∈N *

都有a n ＋1＝a 1＋a n

＋n ，则a n ＝________，1a 1＋1a 2＋…＋1

a 2 018

＝________.

解析：依题意a n ＋1＝a n ＋n ＋1，故a n ＋1－a n ＝n ＋1， 故a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n ， 由累加法可得a n －a 1＝

n 2＋n －2

2

，a n ＝

n 2＋n

2

，

故1a n ＝2n 2＋n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1

n －1n ＋1，故1a 1＋1a 2＋…＋1a 2 018

＝2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋12 018－12 019＝4 0362 019

. 答案：

n 2＋n 2

4 036

2 019

8．对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝2，{a n }的“差数列”的通项为2n

，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.

解析：∵a n ＋1－a n ＝2n

，∴当n ≥2时，

a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n －1＋2

n －2

＋…＋22

＋2＋2＝2－2n

1－2

＋2＝2n

.

当n ＝1时，a 1＝2也适合上式，

∴a n ＝2n

(n ∈N *

)．∴S n ＝2－2n ＋1

1－2

＝2n ＋1

－2.

答案：2

n ＋1

－2

9．已知数列{－n ·2n

}的前n 项和为S n ，若对任意的正整数n ，S n ＋(n ＋m )2n ＋1

<0恒成立，则

实数m 的取值范围为________．

解析：∵－S n ＝1×2＋2×22

＋3×23

＋…＋n ×2n

，① －2S n ＝1×22

＋2×23

＋3×24＋…＋(n －1)×2n ＋n ×2n ＋1

，② ①－②，得S n ＝2＋22

＋23

＋…＋2n －n ×2n ＋1

＝

－2n

1－2

－n ×2

n ＋1

＝2

n ＋1

－n ×2

n ＋1

－2.

∵S n ＋(n ＋m )2n ＋1

<0恒成立，∴2

n ＋1

－n ×2

n ＋1

－2＋n ×2

n ＋1

＋m ×2

n ＋1

<0对任意的正整数n 恒成

立，∴m ×2

n ＋1

<2－2

n ＋1

对任意的正整数n 恒成立，即m <1

2

n －1恒成立．

∵1

2n －1>－1，∴m ≤－1，即m 的取值范围是(－∞，－1]． 答案：(－∞，－1]

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K12小学初中高中 三、解答题

10．已知数列{a n }满足a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2

n －1a n ＝n 2，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；

(2)设b n ＝(2n －1)a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 解：(1)∵a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2

n －1a n ＝n 2，① ∴当n ≥2时，a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2

n －2a n －1＝n －12，② ①－②得，2n －1a n ＝12，∴a n ＝12n (n ≥2)，③ 又∵a 1＝12也适合③式，∴a n ＝12n (n ∈N *)． (2)由(1)知b n ＝(2n －1)·12n ， ∴S n ＝1·12＋3·122＋5·123＋…＋(2n －1)·12n ，④ 12S n ＝1·122＋3·123＋5·124＋…＋(2n －1)·12n ＋1，⑤ ④－⑤得，

12S n ＝12＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋123＋124＋…＋12n －(2n －1)·12

n ＋1 ＝12＋1－12n －1－(2n －1)·12n ＋1＝32－2n ＋32

n ＋1， ∴S n ＝3－2n ＋32n . 11．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1.

(1)证明：⎩

⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是等比数列，并求{a n }的通项公式； (2)证明：1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32

. 证明：(1)由a n ＋1＝3a n ＋1得a n ＋1＋12＝3⎝

⎛⎭⎪⎫a n ＋12， 所以a n ＋1＋

12a n ＋12＝3，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是首项为a 1＋12＝32，公比为3的等比数列， 所以a n ＋12＝32·3n －1，解得a n ＝3n －12

.

小初高试卷教案类

K12小学初中高中 (2)由(1)知：a n ＝3n －12，所以1a n ＝23n －1

， 因为当n ≥1时，3n －1≥2·3

n －1， 所以13n －1≤12·3

n －1， 于是1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≤1＋13＋…＋13n －1＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n <32，所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32

. 12．已知正项数列{a n }，{b n }满足：对任意正整数n ，都有a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列，且a 1＝10，a 2＝15.

(1)求证：数列{}b n 是等差数列；

(2)求数列{a n }，{b n }的通项公式；

(3)设S n ＝1a 1＋1a 2＋…＋1a n ，如果对任意正整数n ，不等式2aS n <2－b n a n

恒成立，求实数a 的取值范围．

解：(1)证明：由已知，得2b n ＝a n ＋a n ＋1，① a 2

n ＋1＝b n ·b n ＋1.②

由②得a n ＋1＝b n b n ＋1.③

将③代入①得，对任意n ≥2，n ∈N *

，有2b n ＝b n －1b n ＋b n b n ＋1.即2b n ＝b n －1＋b n ＋1. ∴数列{}b n 是等差数列．

(2)设数列{}b n 的公差为d ，由a 1＝10，a 2＝15.

经计算，得b 1＝252，b 2＝18.∴b 1＝522，b 2＝32， d ＝b 2－b 1＝32－522＝22

. ∴b n ＝522＋(n －1)·22＝22

(n ＋4)． ∴b n ＝n ＋

22，a n ＝n ＋

n ＋2

. (3)由(2)得1a n ＝2n ＋n ＋＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋3－1n ＋4. ∴S n ＝2⎣⎢⎡⎦

⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫14－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－16＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋3－1n ＋4 ＝2⎝ ⎛⎭

⎪⎫14－1n ＋4. 不等式2aS n <2－b n a n 化为4a ⎝ ⎛⎭

⎪⎫14－1n ＋4<2－n ＋4n ＋3.

小初高试卷教案类

K12小学初中高中 即(a －1)n 2

＋(3a －6)n －8<0.

设f (n )＝(a －1)n 2＋3(a －2)n －8，

则f (n )<0对任意正整数n 恒成立．

当a －1>0，即a >1时，不满足条件； 当a －1＝0，即a ＝1时，满足条件； 当a －1<0，即a <1时， f (n )的对称轴为x ＝－a －

a －<0，f (n )关于n 递减，

因此，只需f (1)＝4a －15<0.解得a <154

，∴a <1. 综上，实数a 的取值范围为(－∞，1]．