【配套K12】2018年高考数学二轮专题复习知能专练十一数列的综合应用

小初高试卷教案类

K12小学初中高中 知能专练（十一） 数列的综合应用

一、选择题

1．(2018届高三·金华十校联考)已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且满足a 1＝1，a 2＝3，a n ＋2＝3a n ，则S 2 018＝( )

A ．2×3

1 009－

2 B ．2×31 009 C.32 018－12 D.32 018＋12

解析：选A 由a n ＋2＝3a n 可得数列{a n }的奇数项与偶数项分别构成等比数列，所以S 2 018＝(a 1

＋a 3＋…＋a 2 017)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2 018)＝1－31 0091－3＋－3 1 0091－3＝(－2)×(1－31 009)＝2×31 009－2.

2．(2017·长沙质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，当n ≥2时，a n ＋2S n －1＝n ，则S 2 017的值为( )

A ．2 017

B ．2 016

C ．1 009

D ．1 008

解析：选C 因为a n ＋2S n －1＝n ，n ≥2，所以a n ＋1＋2S n ＝n ＋1，两式相减得a n ＋1＋a n ＝1，n ≥2.又a 1＝1，所以S 2 017＝a 1＋(a 2＋a 3)＋…＋(a 2 016＋a 2 017)＝1 009.

3．数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)

n －1·(4n －3)，则它的前100项之和S 100＝( ) A ．200

B ．－200

C ．400

D ．－400

解析：选B S 100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200.

4．我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：

第一步：构造数列1，12，13，14， (1)

.① 第二步：将数列①的各项乘以n ，得数列(记为)a 1，a 2，a 3，…，a n .

则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n ＝( )

A ．n 2

B ．(n －1)2

C ．n (n －1)

D ．n (n ＋1) 解析：选C a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n

＝n 1·n 2＋n 2·n 3＋…＋n n －1·n n

＝n 2⎣⎢⎡⎦

⎥⎤11×2＋12×3＋…＋1n －1n

小初高试卷教案类

K12小学初中高中 ＝n 2⎝ ⎛⎭

⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＝n 2·n －1n

＝n (n －1)． 5．设a n ＝1n sin n π25

，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，在S 1，S 2，…，S 100中，正数的个数是( ) A ．25

B ．50

C ．75

D ．100

解析：选D 当1≤n ≤24时，a n >0，当26≤n ≤49时，a n <0，但其绝对值要小于1≤n ≤24时相应的值，当51≤n ≤74时，a n >0，当76≤n ≤99时，a n <0，但其绝对值要小于51≤n ≤74时相应的值，∴当1≤n ≤100时，均有S n >0.

6．(2017·全国卷Ⅰ)几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，…，其中第一项是20

，接下来的两项是20,21，再接下来的三项是20,21,22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是( )

A ．440

B ．330

C ．220

D ．110 解析：选A 设第一项为第1组，接下来的两项为第2组，再接下来的三项为第3组，依此类推，则第n 组的项数为n ，前n 组的项数和为n n ＋2. 由题意可知，N >100，令n n ＋2>100， 得n ≥14，n ∈N *，即N 出现在第13组之后．

易得第n 组的所有项的和为1－2n 1－2

＝2n －1，前n 组的所有项的和为－2n 1－2－n ＝2n ＋1－n －

2.

设满足条件的N 在第k ＋1(k ∈N *，k ≥13)组，且第N 项为第k ＋1组的第t (t ∈N *)个数， 若要使前N 项和为2的整数幂，则第k ＋1组的前t 项的和2t －1应与－2－k 互为相反数， 即2t －1＝k ＋2，∴2t ＝k ＋3，∴t ＝log 2(k ＋3)，

∴当t ＝4，k ＝13时，N ＝＋2＋4＝95<100，不满足题意； 当t ＝5，k ＝29时，N ＝＋2＋5＝440； 当t >5时，N >440，故选A.

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K12小学初中高中

二、填空题

7．(2018届高三·浙江名校联考)数列{a n }满足a 1＝1，且对于任意的n ∈N *

都有a n ＋1＝a 1＋a n

＋n ，则a n ＝________，1a 1＋1a 2＋…＋1

a 2 018

＝________.

解析：依题意a n ＋1＝a n ＋n ＋1，故a n ＋1－a n ＝n ＋1， 故a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n ， 由累加法可得a n －a 1＝

n 2＋n －2

2

，a n ＝

n 2＋n

2

，

故1a n ＝2n 2＋n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1

n －1n ＋1，故1a 1＋1a 2＋…＋1a 2 018

＝2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋12 018－12 019＝4 0362 019

. 答案：

n 2＋n 2

4 036

2 019

8．对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝2，{a n }的“差数列”的通项为2n

，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.

解析：∵a n ＋1－a n ＝2n

，∴当n ≥2时，

a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n －1＋2

n －2

＋…＋22

＋2＋2＝2－2n

1－2

＋2＝2n

.

当n ＝1时，a 1＝2也适合上式，

∴a n ＝2n

(n ∈N *

)．∴S n ＝2－2n ＋1

1－2

＝2n ＋1

－2.

答案：2

n ＋1

－2

9．已知数列{－n ·2n

}的前n 项和为S n ，若对任意的正整数n ，S n ＋(n ＋m )2n ＋1

<0恒成立，则

实数m 的取值范围为________．

解析：∵－S n ＝1×2＋2×22

＋3×23

＋…＋n ×2n

，① －2S …… 此处隐藏：2985字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……