函数值域及最值的求法

⒈配方法

利用二次函数的有关性质、图象作出分析，特别是求某一给定区间的最值与值域。此方法一般可解决形如y = a [f(x)]2+ b f(x) + c (a≠0)的函数的值域与最值。

例1、求函数y = x2 - 6x + 2的值域。

解法一：∵y = x2 - 6x + 2＝( x - 3)2－7

又∵( x - 3)2≥0

∴( x - 3)2－7≥－7

∴函数的值域是［－7，＋∞）＃

这里用到了配方法求函数的值域。

解法二：二次函数y = x2 - 6x + 2是对称轴为x = 3，开口向上的抛物线，故当x = 3时，函数有最小值f(3)＝－7。

∴函数的值域是［－7，＋∞）

这里运用了二次函数的图象和性质求值域。

一般地，求一次、二次函数的值域与最值，还要考虑它们的定义域。例如，在例1中将题目改为：y = sin2x - 6sinx + 2，则函数的值域就不是［－7，＋∞）了。因为当x∈R时，sinx∈[- 1, 1]，而sinx取不到3，则函数值取不到－7。

解法一：∵y = sin2x - 6sinx + 2

＝( sinx - 3)2 - 7（配方法）Array又∵sinx∈[- 1, 1]，

∴函数的值域是［－3，9］＃

解法二：令sinx = t，则y = t2 - 6t + 2 t∈[ - 1,

1]

它的图象是抛物线的一段（如图）

∴函数的值域是［－3，9］＃

在此方法中用到了数形结合的方法。

⒉反函数法

由互为反函数的两个函数具有的性质，可以通过求反函数的定义域来确定已知函数的值域。

例2、求函数 y =

234

x x +- 的值域。 解：由于函数y = 234

x x +-的映射是一一映射（证明略）故反函数存在，其反函数为y= 4231x x +-(x≠13

) ∴函数的值域为{ y | y≠13，且y ∈R}＃ 说明：由于本方法中所具有的某些局限性，一般说来，用此方法求值域只用于形如 y =ax b cx d

++(c≠0)的函数，并且用此方法求函数的值域，也不是比较理想的方法（见方法5）。

⒊ 判别式法

一般地，求形如 y = 22ax bx c Ax Bx C

++++的有理分式函数的值域，可把原函数化成关于x 的一元二次方程： f(y)x 2 +g(y)x+ψ(y) = 0,根据方程的判别式Δ＝g 2(y) - 4f(y)ψ(y)≥0求出y 的取值范围，从而得出原函数的值域。但要注意几点：

⑴在Δ≥0中，应考虑“＝”能否成立；

⑵由于在变形过程中涉及到去分母，故应考虑函数的定义域是否为R ；

⑶f(y)≠0，应验证f(y)＝0的情况。

否则用“判别式法”求出的值域与最值是不可靠的。

例3、求函数 y =222311

x x x x -+++的值域。 解：视y 为参数，解关于x 的方程，得

(y - 2)x 2 + ( y +3) x + (y - 1) = 0 ...... (＊)

∵原函数的定义域为R

当y≠2时，方程（＊）有解的充要条件为

Δ＝( y + 3)2 - 4( y - 2)( y - 1)≥0 解此不等式，得

3

212932129+≤≤-y . 又当y=2时，x= 5

1- ∴函数的值域是]32129,32129[+- ⒋ 换元法

当题目的条件与结论看不出直接的联系（甚至相去甚远）时，为了沟通已知与未知的联系，我们常常引进一个（或几个）新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”往往可以暴露已知与未知之间被表面形式掩盖着的实质，发现解题方向。换元法是一种重要的数学解题方法，掌握它的关键在于通过观察、联想，发现与构造出变换式（或新元换旧式、或新式换旧元、或新式换旧式）。在中学数学问题中，常见的基本换元形式有式代换、三角代换、点代换、参数代换。

例4、求函数

的最值。 解:令

，则x= 2t - 2 ，从而y =

221t

t +≥0 当t=0，即x= -2时，y min = 0

当t ＞0时，y =

4

21221121=≤+t t t t （当且仅当t =22时，上式等号成立）

于是当x= (22)2 - 2 = －23时，y max =42＃ 这里用到了式代换及均值不等式的方法。

例5、求函数 y = x +21x -的值域。

分析：注意到sin 2θ+cos 2θ=1，故此可令x = sinθ.

解：∵ 1 - x 2≥0, ∴|x|≤1, 设x = sinθ(θ∈]2,2[π

π-)，则 y = sin θ+cos θ=2sin(θ+4π)

∵4

344ππ

θπ

≤+≤- 21≤≤-∴y #

这里用到了三角代换。

⒌ 单调性法

利用所学基本初等函数的单调性，再根据所给定义域来确定函数的值域与最值，在求函数的值域与最值中，是一种比较简捷、巧妙的方法。

例6、求函数y =4

32-+x x 的值域。 本题可用反函数法求解（见例2）。下面我们用单调性法来求解。 解：

)43(3103143310)433

1432

-+=-+--+=

x x x x x y （　＝ (此方法也叫做分离系数法）

根据函数y = k/x 的性质，可知上式中 y≠1/3

∴函数的值域为（－∞，1/3)∪(1/3, +∞) ＃

例7、求函数y = ( 1/3) - x +2x +3的值域。

解：令u = - x 2 +2x +3，则u ∈( - ∞, 4]

根据指数函数y = (1/3)u 的单调性可知

y ∈[ (1/3)4, +∞)

∴函数的值域为［3－4，＋∞）＃

⒍ 不等式法 运用均值不等式可解决：如果n

为常数，则当且仅当这n 个相等时，它们的和（或积）有最小（或最大）值。在此，由于篇幅有限，不再举例说明。可参看例4。

⒎ 数形结合法

数形结合是中学数学中的一种重要的数学思想方

法。数是形的抽象概括，形是数的直观表现。华罗庚先生指出：数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休。这种方法不仅仅体现在数学的其它领域中，在求函数的值域与最值时也有良好的反映。

例8、已知x+y+1=0,的最小值是 。 分析：可由x+y+1=0x 或y ，从而减少变量，再运用有关函数的性质必可求解。但是，想象得出，这种方法的计算量是不小的。我们注意到可以看作直线x+y+1=0上的点(x, y)与点（1，1）间的距离，从而可以简捷求解。如图。

∴ 例9、若复数z

满足1|22|≤++i z ，则) y )

|z|max= ，|z|min= 。

分析：本题如果用单纯的代数方法求解，需设z = x + yi，代入条件，用定义求解，比较繁琐，不易求得。但注意到1

+

|≤

z的

+i

2

|

2

1为半径的

几何意义：复数z

圆面（包括边界），如图。

由图观察，易知

|z|max=3, |z|min=1