线性代数第04讲 逆矩阵

大学线性代数,课程教学PPT,可供期末复习使用,亦可作课件使用

(2) 特殊矩阵 对称阵与反对称矩阵 思考：矩阵与行列式的有何区别? 思考：矩阵与行列式的有何区别?

方阵 (m = n );

a1 ,a2 a ), 行矩阵与列矩阵; 行矩阵与列矩阵 A = (a1, a2 L,, n B= λ1 0 L 0 1 0 L 0M a 单位矩阵; 单位矩阵; 0 1 0n 0 λ2 L 0 . L L L L 对角矩阵; 对角矩阵 L L L 0 0 L 1 0 0 λn 零矩阵. 零矩阵

1

大学线性代数,课程教学PPT,可供期末复习使用,亦可作课件使用

矩 阵 运 算

数与矩阵相乘 矩阵与矩阵相乘 转置矩阵 方阵的行列式 共轭矩阵加法

大学线性代数,课程教学PPT,可供期末复习使用,亦可作课件使用

§2 逆矩阵1、逆矩阵的概念 逆矩阵 设 A 为 n 阶方阵，若存在 n 阶方阵 B, 逆矩阵 阶方阵， , 使得

AB = BA = E

成立，则称方阵 可逆， 逆矩阵， 成立，则称方阵 A 可逆，并称 B 是 A 的逆矩阵， 简称逆阵 逆阵， 简称逆阵，记作 A 1. 故有

AA 1 = A 1 A = E.此时， 的逆矩阵， 此时， A 也是 B 的逆矩阵，因此称 A 和 B 互为 A 1 = B, B 1 = A. 可逆矩阵， 可逆矩阵，即 零矩阵是不可逆矩阵；单位阵是可逆矩阵， 注 零矩阵是不可逆矩阵；单位阵是可逆矩阵， 且它的逆是其本身. 且它的逆是其本身.

大学线性代数,课程教学PPT,可供期末复习使用,亦可作课件使用

1 2 5 2 例 设A= ,B = 3 1 ,验证 A, B 3 5 可逆，且互为逆矩阵.定理1 可逆，则其逆矩阵唯一. 定理1 若 A 可逆，则其逆矩阵唯一.

例 设对角阵 Λ = diag( a1 , a2 ,L, an ),其中ai ≠ 0 (i = 1,2,L, n ). 验证 Λ 1 = diag( a1 1 , a2 1 ,L, an 1 ).

大学线性代数,课程教学PPT,可供期末复习使用,亦可作课件使用

2、矩阵可逆的充要条件 伴随矩阵 n 阶方阵 A = ( aij ) 的行列式 det A 中各 伴随矩阵 个元素 aij 的代数余子式 Aij 所构成的矩阵 ( Aij ) 的 伴随矩阵， 转置矩阵， 转置矩阵，称为方阵 A 的伴随矩阵，记为 A*,即

A11 A A* = 12 M A 1n

A21 L An1 A22 L An 2 . M M A2 n L Ann

定理2 定理2 对于 n 阶方阵 A 及其伴随矩阵 A* ,有

AA* = A* A = A E .

大学线性代数,课程教学PPT,可供期末复习使用,亦可作课件使用

定理3 定理3

n 阶方阵 A 可逆 A ≠ 0 . 可逆时， 且当 A 可逆时，有 1 * 1 伴随矩阵法 A = A. 求逆矩阵 A 若 AB = E (或 BA = E ),则 B = A . 1

推论

a b 例 当ad bc ≠ 0 时，求二阶方阵 的逆. c d a b 1 d b c d = ad bc c a 1

大学线性代数,课程教学PPT,可供期末复习使用,亦可作课件使用

例 判 定矩阵 1 2 3 A = 2 1 2 1 3 3 是 否可逆，若 可逆求其逆 矩阵.例 设方阵 A 满足方程 A2 A 2 E = O,证明 A + 2 E 为可逆矩阵. 奇异矩阵 若 n 阶方阵 A 的行列式 A ≠ 0 ,则称 奇异矩阵 非奇异矩阵( 非退化矩阵);若 A 为非奇异矩阵(或非退化矩阵);若 A = 0 , ); 奇异矩阵( 退化矩阵) 则称 A 为奇异矩阵(或退化

矩阵). 可逆矩阵即非奇异矩阵；不可逆矩阵即奇异矩阵. 可逆矩阵即非奇异矩阵；不可逆矩阵即奇异矩阵.

大学线性代数,课程教学PPT,可供期末复习使用,亦可作课件使用

3、矩阵方程

假设矩阵 A, B 可逆，则标准矩阵方程 AX = B, XA = B, AXB = C 的 解分别为： X = A 1 B, X = BA 1 , X = A 1CB 1 .

注 若 A 可逆，则 AB = AC B = C. 1 2 1 0 例 设P= ,Λ = ,AP = PΛ,求 An . 1 4 0 2

大学线性代数,课程教学PPT,可供期末复习使用,亦可作课件使用

4、逆矩阵的性质

1)A 1 ) 1 = A; ) ( 2)A ) = ( A ) ; ) ( 1 1 1 3)λ A) = A ; ( )4) ) A 1

T 1

1 T

1 1 1 = = A ; A

λ

5)AB ) 1 = B 1 A 1 , ) ( ( A1 A2 L Am ) 1 = Am 1 L A2 1 A1 1.

例 已知 A 及 E + AB 可逆，试证 E + BA 可逆.

大学线性代数,课程教学PPT,可供期末复习使用,亦可作课件使用

小 结逆矩阵的概念及运算性质. 逆矩阵的概念及运算性质 逆矩阵 A 1 存在 A ≠ 0. 逆矩阵的计算方法

(3)初等变换法 (下一节介绍 ).

A (1)待定系数法; (2)利用公式 A 1 = ; A

大学线性代数,课程教学PPT,可供期末复习使用,亦可作课件使用

思考题若 A 可 逆 , 那 么 矩 阵 方 程 AX = B 是 否 有 唯 一 解 X = A 1 B ? 矩 阵 方 程 YA = B 是 否 有 唯 一 解 Y = BA 1 ?

大学线性代数,课程教学PPT,可供期末复习使用,亦可作课件使用

思考题解答答

是的 . 这是由于 A 1的唯一性决定的 .

大学线性代数,课程教学PPT,可供期末复习使用,亦可作课件使用

a b b L b b a b L b Dn = b b a L b M M M M b b b L ac2 c1 c3 c1 L cn c1

c1 + c2 + L + cn

a + (n 1)b a + (n 1)b a + (n 1)b M

b a b M

b L b b L b a L b M M

a + (n 1)b b b L ab 0 M 0 L L b 0 0 M L a b

a + (n 1)b 0 0 M 0

b a b 0 M 0

a b L

= [ a + (n 1)b](a b) n 1.13

大学线性代数,课程教学PPT,可供期末复习使用,亦可作课件使用

1 1 2) 3 1

2 0 1 21 2

3 1 1 01 1

4 2 0 5

c3 c1

1 c4 2c1 1 3 11 2

2 0 1 20

2 0 4 10

2 0 6 7

c2 c1

= ( 1) 2+1 2 1 4 6 c3 c1 = 2 1 3 5 1 7 3 9

= 2[( 3) × ( 9) ( 3) × ( 5)] = 24.

大学线性代数,课程教学PPT,可供期末复习使用 …… 此处隐藏：1330字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……