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第六章一次函数与反比例函数

考点一、平面直角坐标系（3分） 1、平面直角坐标系

在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。

其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点O（即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。

为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。

注意：x轴和y轴上的点，不属于任何象限。 2、点的坐标的概念

点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当a b时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标。 考点二、不同位置的点的坐标的特征（3分） 1、各象限内点的坐标的特征 点P(x,y)在第一象限 x 0,y 0

点P(x,y)在第二象限 x 0,y 0 点P(x,y)在第三象限 x 0,y 0 点P(x,y)在第四象限 x 0,y 0 2、坐标轴上的点的特征

点P(x,y)在x轴上 y 0，x为任意实数 点P(x,y)在y轴上 x 0，y为任意实数

点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上 x，y同时为零，即点P坐标为（0，0） 3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征 点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上 x与y相等 点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上 x与y互为相反数 4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征 位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。 位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。 5、关于x轴、y轴或远点对称的点的坐标的特征

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点P与点p’关于x轴对称 横坐标相等，纵坐标互为相反数 点P与点p’关于y轴对称 纵坐标相等，横坐标互为相反数 点P与点p’关于原点对称 横、纵坐标均互为相反数 6、点到坐标轴及原点的距离

点P(x,y)到坐标轴及原点的距离： （1）点P(x,y)到x轴的距离等于y （2）点P(x,y)到y轴的距离等于x

22

（3）点P(x,y)到原点的距离等于x y

考点三、函数及其相关概念（3~8分） 1、变量与常量

在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。

一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。

2、函数解析式

用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。 使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。 3、函数的三种表示法及其优缺点 （1）解析法

两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。

（2）列表法

把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。 （3）图像法

用图像表示函数关系的方法叫做图像法。 4、由函数解析式画其图像的一般步骤

（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值

（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点

（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。 考点四、正比例函数和一次函数（3~10分） 1、正比例函数和一次函数的概念

一般地，如果y kx b（k，b是常数，k 0），那么y叫做x的一次函数。

特别地，当一次函数y kx b中的b为0时，y kx（k为常数，k 0）。这时，y叫做x的正比例函数。

2、一次函数的图像

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所有一次函数的图像都是一条直线

3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：

一次函数y kx b的图像是经过点（0，b）的直线；正比例函数y kx的图像是经过原点（0，0）的直线。

k的符号

b的符号

函数图像

图像特征

图像经过一、二、三象限，y随x的增

大而增大。

图像经过一、三、四象限，y随x的增

大而增大。

图像经过一、二、四象限，y随x的增大而

减小

图像经过二、三、四象限，y随x的增大而

减小。

注：当

b>0

k>0

b<0

b>0

K<0

b<0

4、正比例函数的性质

一般地，正比例函数y（1）当k>0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大； （2）当k<0时，图像经过第二、四象限，y随x的增大而减小。 5、一次函数的性质

一般地，一次函数y kx b有下列性质：

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（1）当k>0时，y随x的增大而增大 （2）当k<0时，y随x的增大而减小 6、正比例函数和一次函数解析式的确定

确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式y kx（k 0）中的常数k。确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式y kx b（k 0）中的常数k和b。解这类问题的一般方法是待定系数法。

考点五、反比例函数（3~10分） 1、反比例函数的概念

一般地，函数y

k 1

k是常数，k 0）叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成y kxx

的形式。自变量x的取值范围是x 0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。

2、反比例函数的图像

反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x 0，函数y 0，所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。

3、反比例函数的性质

反比例函数 k的符号

O k>0

y

k

(k 0) x

k<0

O

图像

性质

① 随x 的增大而减小。

4、反比例函数解析式的确定

确定及诶是的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数y

k

中，只有一个待定系数，因此只需x

要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。

5、反比例函数中反比例系数的几何意义

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如下图，过反比例函数y

k

(k 0)图像上任一点P作x轴、y轴的垂线PM，PN，则所得的矩x

形PMON的面积S=PM PN=y x xy。

y

k

, xy k,S k。 x

第七章二次函数

考点一、二次函数的概念和图像（3~8分） 1、二次函数的概念

一般地，如果y ax bx c(a,b,c是常数，a 0)，那么y叫做x 的二次函数。

2

y ax2 bx c(a,b,c是常数，a 0)叫做二次函数的一般式。

2、二次函数的图像

二次函数的图像是一条关于x

b

对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 2a

抛物线的主要特征：

①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。 3、二次函数图像的画法 五点法：

（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴 （2）求抛物线y ax bx c与坐标轴的交点：

当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。

当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。由C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。 考点二、二次函数的解析式（10~16分）

二次函数的解析式有三种形式：

（1）一般式：y ax bx c(a,b,c是常数，a 0) （2）顶点式：y a(x h) k(a,h,k是常数，a 0)

2

22

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（3）当抛物线y ax bx c与x轴有交点时，即对应二次好方程ax bx c 0有实根x1和

22

x2存在时，根据二次三项式的分解因式ax2 bx c a(x x1)(x x2)，二次函数y ax2 bx c

可转化为两根式y a(x x1)(x x2)。如果没有交点，则不能这样表示。 考点三、二次函数的最值（10分）

如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x

b

时，2a

y最值

4ac b2 。

4a

b

是否在自变量取值范围x1 x x2内，2a

如果自变量的取值范围是x1 x x2，那么，首先要看

b4ac b2

若在此范围内，则当x= 时，y最值 ；若不在此范围内，则需要考虑函数在x1 x x2

2a4a

2

范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x x2时，y最大 ax2 bx2 c，当

x x1时，y最小 ax12 bx1 c；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x x1时，

2

bx2 c。 y最大 ax12 bx1 c，当x x2时，y最小 ax2

考点四、二次函数的性质（6~14分）

1、二次函数的性质

二次函数

函数

a>0

y ax2 bx c(a,b,c是常数，a 0)

a<0

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（2）对称轴是x=

b2a

，顶点坐标是（

b2a

，

（2）对称轴是x=

b2a

，顶点坐标是（

b2a

，

4ac b2

4a

）；

4ac b2

4a

）；

（3）在对称轴的左侧，即当x<

b

时，y随x的增大2a

b

而减小；在对称轴的右侧，即当x> 时，y随

2a

x的增大而增大，简记左减右增；

（3）在对称轴的左侧，即当x<

b

时，y随x的增2a

b

大而增大；在对称轴的右侧，即当x> 时，

2a

y随x的增大而减小，简记左增右减；

（4）抛物线有最低点，当x=

b

时，y2a

有最小值，

（4）抛物线有最高点，当x=

b

时，y有最大值，2a

y最小值

4ac b2

4a

2

y最大值

4ac b2

4a

2、二次函数y ax bx c(a,b,c是常数，a 0)中，a、b、c的含义：

a表示开口方向：a>0时，抛物线开口向上 a<0时，抛物线开口向下

b与对称轴有关：对称轴为x=

b 2a

（0，c） c表示抛物线与y轴的交点坐标：

3、二次函数与一元二次方程的关系

一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。

因此一元二次方程中的 b 4ac，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点。 当 >0时，图像与x轴有两个交点； 当 =0时，图像与x轴有一个交点； 当 <0时，图像与x轴没有交点。 补充：

1、两点间距离公式（当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法） 2

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2、函数平移规律（中考试题中，只占3分，但掌握这个知识点，对提高答题速度有很大帮助，可以大大节省做题的时间）

左加右减、上加下减