2.2直接证明与间接证明2.2.1

综合法和分析法

复习推理合情推理归纳

演绎推理

类比 三段论 (特殊到一般) (特殊到特殊)(一般到特殊) 合情推理的结论不一定正确,有待证明; 演绎推理得到的结论一定正确.

1。综合法

例1:已知a>0,b>0,求证 a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc 证明: 因为b2+c2 ≥2bc,a>0 所以a(b2+c2)≥2abc. 又因为c2+b2 ≥2bc,b>0 所以b(c2+a2)≥ 2abc. 因此a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.

利用已知条件和某些数学定义、公理、 定理等,经过一系列的推理论证,最后推 导出所要证明的结论成立,这种证明方 法叫做综合法 特点:“由因导果”

综合法又叫由因导果法或顺推证法.用P表示已知条件、已有的定义、公理、 定理等,Q表示所要证明的结论. 则综合法用框图表示为: … Q1 Q 2 Q 2 Q 3 P Q1

Qn Q

例2:在△ABC中，三个内角A、B、C对应的边分 别为a、b、c,且A、B、C成等差数列，a、b、c成 等比数列，求证△ABC为等边三角形.证明：由A,B,C成等差数列，有2B=A+C,---------------------------------------①因为A,B,C是三角形的内角，所以A+B+C=180o,----------------------② 所以B=60o。---------------------------------------------------------------------③

由a,b,c成等比数列，有b2=ac, -----------------------------------------------④则b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac, 再有④得a2+c2-ac=ac,即(a-c)2=0

因此a=c。从而有A=C----------------------------------------------------------⑤则由② ③ ⑤得A=B=C=60o。 所以三角形ABC是等边三角形。

小结 综合法的定义: 利用已知条件和某些数学定义、公理、 定理等,经过一系列的推理论证,最后推 导出所要证明的结论成立,这种证明方 法叫做综合法 用P表示已知条件、已有的定义、公理、 定理等,Q表示所要证明的结论. 则综合法用框图表示为:P Q1Q1 Q 2Q2 Q3

…

Qn Q

回顾基本不等式：

a+b 2

ab

(a>0,b>0)的证明.证明: 因为;( a b ) 02

a+b ab 证明:要证; 2 只需证;a + b 2 ab

所以 a + b 2 ab 0 所以 a + b 2 aba+b ab 成立 所以 2

只需证;a + b 2 ab 02 ( a b ) 0 只需证;

因为;( a b )2 0 成立

a+b 所以 2

ab成立

一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求 推证过程中，使每一步结论成立的充分条件， 直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明 显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理 等)为止，这种证明的方法叫做分析法.

特点：执果索因.分析法又叫执果索因法或叫逆推证法 用框图表示分析法的思考过程、特点.Q P1P1 P2

P2 P3

…

得到一个明显 成立的结论

例3:求证

3 7 2 5

证明：因为 3 7和2 5 都是正数， 所以为了证明 3 7 2 5

只需证明 ( 3 7)2 (2 5)2

展开得 10 2 21 20 即 21 5 只需证明21<25,因为21<25成立，所以不等式3 7 2 5 成立。

π 例4 已知α, 例. β≠ kπ+ (k Z),且 2 sinθ+ cosθ= 2sinα sinθcosθ= sin 2 β 1 - tan α 1 - tan β 证: 求 = . 2 2 1 + tan α 2(1 + tan β) 看课本第88页，例题3。上述过程可用框图表示:P P1见89页

2

2

P1 P2

Pn P '

Q' Qm

Q2 Q1

Q1 Q

1.综合法的定义:

小结

一般地，利用已知条件和某些已经学过的定义、 定理、公理等，经过一系列的推理、论证，最后推导 出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。

特点:“由因导果”

综合法又叫由因导果法或顺推证法.2.分析法的定义:一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求推证 过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后， 把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件 (已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证 明的方法叫做分析法. 特点:“执果索因”

分析法又叫执果索因法或叫逆推证法

2.2.2

反

证

法

思考？将9个球分别染成红色或白色.那么无论怎 样染,至少有5个球是同色的,你能证明这个 结论吗? 分析:假设有某种染法使红色球和白 色球的个数都不超过4, 则球的总数应不超过4+4=8, 这与球的总数是9矛盾.因此,无论怎 样染,至少有5个球是同色的.

反证法的证明过程：否定结论——推出矛盾——肯定结论， 即分三个步骤：反设—归谬—存真反设——假设命题的结论不成立； 归谬——从假设出发，经过一系列正确的推理， ````````得出矛盾； 存真——由矛盾结果，断定反设不成立，从而 肯定原结论成立。

反证法的思维方法：正难则反用反证法证明命题的过程用框图表示为：

肯定条件否定结论

导

致

反设不成立

结论成立

逻辑矛盾

例5: 已知直线a,b和平面 ,如果a , b 且a∥b,求证:a ∥ a b

P

看课本第90页，例题4。

理论

把这种不是直接从原命题的条件逐步 推得命题成立的证明方法称为间接证明注：反证法是最常见的间接证法，

一般地，假设原命题不成立(即在原命题的条件 经过正确的推理， 下，结论不成立), 最后得出矛盾。 这样的 因此说明假设错误，从而证明了原命题成立， 证明方法叫做反证法(归谬法)。