第5 讲 夯基释疑

指数与指数函数

考点一 概要 考点突破 考点二 考点三

例1 例2 例3

训练1 训练2 训练3

课堂小结

夯基释疑

判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)( (-4))4=-4.( ) (2)(-1) =(-1) = -1.( (3)函数 y=2x-12 4 1 2

4

)

是指数函数.( )

|x| 1 的值域是(-∞,1].( ) (4)函数 y= 4

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考点突破 考点一 指数幂的运算【例 1】 化简下列各式：1 2 3 - 2.5 (1)[(0.0645) ]3- 4 1 a 3 - 8a3b

3 3 -π 0; 83

将根式、分数指数幂统 一为分数指数幂

(2)

2 3 3 4b + 2

ab+ a

-2 2 3 b a· a2 ÷ a 3 - × . 2 5 a 3 3a· a2 1 -5 2 3 5 1 3

64 27 - 8 -1 解 (1)原式= 1 000 4 = 10 5 1 2 3 5× -2 ×3

( )

3 - -1 2

1 3 3

5 3 = - -1=0. 2 2第3页

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考点突破 考点一 指数幂的运算【例 1】 化简下列各式：1 2 3 - 2.5 (1)[(0.0645) ]3- 4 1 a 3 - 8a3b

3 3 -π 0; 83

将根式、分数指数幂统 一为分数指数幂

(2)

2 3 3 4b + 2

ab+ a1 3

-2 2 3 b a· a2 ÷ a 3 - × . 2 5 a 3 3a· a1 3 1 3 3 1 3 3 1 3 2 1 3 2

a -2b (a · a) (2)原式= 1 ÷ × 1 1 1 1 1 1 a (a3)2+a3·(2b3)+(2b3)2 (a2·a3) 5

a [(a ) -(2b ) ]

a =a (a -2b )× 1 1× 1 a3-2b3 a6=a ×a×a =a2.第4页

1 3

1 3

1 3

a

5 6

1 3

2 3

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考点突破 考点一 指数幂的运算

规律方法 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指 数幂，以便利用法则计算，但应注意：①必须同底数幂 相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序. (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数. (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有 分母又含有负指数.

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考点突破 考点一 指数幂的运算【训练 1】 (1)化简： a a a; 1 1 2 1 2 - - - - a 3b 3 . (2)计算：4a3b 3÷ 3 1 2 1 2

解

(1)原式=

a

1 2

a ·a1 2

1 2

1 2

=

a ·(a ·a )2 1 1 1 + - + 3 3 3 3

1 2

1 1 2 2

= a.

(2)原式=(-6)a=-6a.

b

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考点突破 考点二 指数函数的图象及其应用【例2】 (1)函数f(x)=ax-b的图象如图， 其中a,b为常数，则下列结论正确的是( A.a>1,b<0 B.a>1,b>0 C.0<a<1,b>0 D.0<a<1,b<0 (2)见下页 解析 (1)由f(x)=ax-b的图象可以观察出， )

函数f(x)=ax-b在定义域上单调递减，

所以0<a<1.函数f(x)=ax-b的图象是在f(x)=ax的基础上向左平移得到的， 所以b<0, 故选 D.第7页

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考点突破 考

点二 指数函数的图象及其应用【例2】 (2)已知实数a,b满足等式2 014a=2 015b,下列五个关 系式： ①0<b<a;②a<b<0;③0<a<b;④b<a<0;⑤a=b. 其中不可能成立的关系式有( )

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个(2)设2 014a=2 015b=t,如图所示， 由函数图象，可得 若t>1,则有a>b>0; 若t=1,则有a=b=0; 若0<t<1,则有a<b<0.

故①②⑤可能成立，而③④不可能成立. 答案 (1)D (2)B第8页

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考点突破 考点二 指数函数的图象及其应用

规律方法 (1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选 项中的图象是否过这些点，若不满足则排除. (2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的 指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得 到.特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分 类讨论. (3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的 指数型函数图象，数形结合求解.

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考点突破 考点二 指数函数的图象及其应用【训练2】 (2015· 衡水模拟)若曲线|y|=2x+1与直线y=b没有公 共点，则b的取值范围是________.解析 曲线|y|=2x+1与直线y=b的图象如图所示，

由图象可知：如果|y|=2x+1与直线y=b没有公共点，

则b应满足的条件是b∈[-1,1].答案 [-1,1]

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考点突破 考点三 指数函数的性质及其应用【例3】 (1)下列各式比较大小正确的是( ) A.1.72.5>1.73 B.0.6-1>0.62 C.0.8-0.1>1.250.2 D.1.70.3<0.93.1 (2)见写一页 解析 (1)A中，∵函数y=1.7x在R上是增函数，2.5<3, ∴1.72.5<1.73. B中，∵y=0.6x在R上是减函数，-1<2, ∴0.6-1>0.62. C中，∵(0.8)-1=1.25, ∴问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小. ∵y=1.25x在R上是增函数，0.1<0.2, ∴1.250.1<1.250.2,即0.8-0.1<1.250.2. D中，∵1.70.3>1,0.93.1<1, ∴1.70.3>0.93.1.第11页

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考点突破 考点三 指数函数的性质及其应用【例 3】 (2)若函数 f(x)=ax(a>0,a≠1)在[-1,2]上的最大值为 4, 最小值为 m, 且函数 g(x)=(1-4m) x在[0, +∞)上是增函数， 则 a=________.

(2)若a>1,有a2=4,a-1=m, 1 此时 a=2,m= , 2 此时 g(x)=- x为减函数，不合题意.

若0<a<1,有a-1=4,a2=m,1 1 故 a= ,m= ,检验知符合题意. 4 16 1 答案 (1)B (2) 4第12页

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考点突破 考点三 指数函数的性质及其应用

规律方法 (1)应用指数函数的单调性可以比较同底数幂值的大小. (2)与指数函数有关的指数型函数的定义域、值域(最值)、 单调性、奇偶性的求解方法，与前面所讲一般函数的求解 方法一致，只需

根据条件灵活选择即可.

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考点突破 考点三 指数函数的性质及其应用【训练 3】 设函数 f(x)=ka -a (a>0 且 a≠1)是定义域为 R 的 奇函数. (1)若 f(1)>0,试求不等式 f(x2+2x)+f(x-4)>0 的解集； 3 - (2)若 f(1)= ,且 g(x)=a2x+a 2x-4f(x),求 g(x)在[1,+∞)上的 2 最小值.解 因为f(x)是定义域为R的奇函数， 所以f(0)=0,所以k-1=0,即k=1, f(x)=ax - a-x 1 (1)因为 f(1)>0, 所以 a- >0,又a>0且a≠1, 所以a>1. a 因为f′(x)=axln a+a-xln a=(ax+a-x)ln a>0, 所以f(x)在R上为增函数，原不等式可化为f(x2+2x)>f(4-x), 所以x2+2x>4-x,即x2+3x-4>0,所以x>1或x<-4. 所以不等式的解集为{x|x>1或x<-4}.第14页

x

-x

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考点突破 考点三 指数函数的性质及其应用【训练 3】 设函数 f(x)=ka -a (a>0 且 a≠1)是定义域为 R 的 奇函数. (1)若 f(1)>0,试求不等式 f(x2+2x)+f(x-4)>0 的解集； 3 - (2)若 f(1)= ,且 g(x)=a2x+a 2x-4f(x),求 g(x)在[1,+∞)上的 2 最小值.x-x

3 1 3 (2)因为 f(1)= ,所以 a- = ,即 2a2-3a-2=0, 2 a 2 1 所以 a=2 或 a=- (舍去). 2 所以g(x)=22x+2-2x-4(2x-2-x) =(2x-2-x)2-4(2x-2-x)+2. 令t(x)=2x-2-x(x≥1),则t(x)在(1,+∞)为增函数(由(1)可知), 3 即 t(x)≥t(1)= , 2第15页

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考点突破 考点三 指数函数的性质及其应用【训练 3】 设函数 f(x)=ka -a (a>0 且 a≠1)是定义域为 R 的 奇函数. (1)若 f(1)>0,试求不等式 f(x2+2x)+f(x-4)>0 的解集； 3 - (2)若 f(1)= ,且 g(x)=a2x+a 2x-4f(x),求 g(x)在[1,+∞)上的 2 最小值.所以原函数为ω(t)=t2-4t+2=(t-2)2-2, 所以当t=2时，ω(t)min=-2,x-x

此时 x=log2(1+ 2).即 g(x)在 x=log2(1+ 2)时取得最小值-2.

第16页

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