复习1 复习1 拉氏变换的定义f(t), 对于时域函数 f(t),只要满足相应的收敛条 其拉氏变换(Laplace变换) (Laplace变换 件，其拉氏变换(Laplace变换)的常规定义为F(s) = L[ f (t)] = ∫ f (t) e stdt0 ∞

其中，f(t)---变换原函数； 其中，f(t)---变换原函数； ---变换原函数 F(s)---变换象函数：复变函数； ---变换象函数 F(s)---变换象函数：复变函数； ---复变量 s=σ+jω。 复变量： s---复变量：s=σ+jω。 拉氏变换有其逆运算，称为拉氏反变换， 拉氏变换有其逆运算，称为拉氏反变换，表示为 1 1 f (t) = L [F(s)] = F(s) estds 2πj ∫c 其中，积分围线c为由s=σ j∞到s=σ+j∞的闭曲线 s=σ的闭曲线。 其中，积分围线c为由s=σ-j∞到s=σ+j∞的闭曲线。

鉴于工程上常常需要处理在t=0处不连 鉴于工程上常常需要处理在t=0处不连 t=0 续的函数甚至具有更复杂性质的函数，控 续的函数甚至具有更复杂性质的函数， 制理论中常常把拉氏变换的定义修改成F ( s ) = L[ f ( t )] =∞

0

∫

f ( t ) e st d t

对于在t=0处连续，即满足f(0 对于在t=0处连续，即满足f(0+)=f(0-)的函数来 t=0处连续 这样定义与常规定义并无区别。 说，这样定义与常规定义并无区别。而采用修改后的 定义可以使微分方程的求解过程大大地简化。 定义可以使微分方程的求解过程大大地简化。 今后，我们将采用修改后的拉氏变换定义。 今后，我们将采用修改后的拉氏变换定义。2

复习2 复习2

常用信号的拉氏变换

控制系统分析中常常需要采用一些典型的时域 输入信号，我们来求它们的拉氏变换。 输入信号，我们来求它们的拉氏变换。

1、单位脉冲信号理想单位脉冲信号的数学表达式为 ∞ ,t = 0 δ (t ) = 0, t ≠ 0+∞

且

∞

∫ δ (t )dt = ∫ δ (t )dt = 10

0+

拉氏变换为L [ δ ( t )] =

∫ δ (t) e0

∞

st

dt = ∫ δ (t ) e0

0+

st

dt = 1

说明： 说明：单位脉冲函数可以通过极限方法得到。 单位脉冲函数可以通过极限方法得到。 设单个方波脉冲如图所示。 设单个方波脉冲如图所示。f(t) δ(t)

1/a t a 0 t 0

脉冲的宽度为a,高度为1/a,面积为1。当保持面积 脉冲的宽度为a 高度为1/a,面积为1 1/a 不变，宽度a--->0, 高度1/ --->∞ 1/a >∞, 不变，宽度a--->0, 高度1/a--->∞,则单个方波脉冲演 变成理想的单位脉冲。 变成理想的单位脉冲。 4

2、单位阶跃信号单位阶跃信号的数学表达式为 1, t ≥ 0 f (t ) = 0, t < 0f(t)

简写为 显然, 有 显然,

f ( t ) = 1( t )

1

0

t

d [1( t )] = δ ( t ) dt

拉氏变换为

L[1( t )] = ∫ 1( t ) e dt = 1 e s 0

∞

st

st

∞ 0

1 = s

3、单位斜坡信号单位阶跃信

号的数学表达式为 t,t ≥ 0 f (t ) = 0,t < 0f(t)

简写为

f ( t ) = t 1( t )t 0

利用分部积分公式, 利用分部积分公式, 变换为∞ st

可求得拉氏∞ ∞

1 1 st [te st L[t 1(t )] = ∫ t e dt = t d( e ) = s 0∫ s 0

∞ 0

1 ∫ e dt ] = 2 s 0 st6

4、指数信号指数信号的数学表达式为f(t)

f (t) = e , t ≥ 01 t 0

αt

拉氏变换为

L[ e ] = ∫ e e d t = ∫ e0 0

αt

∞

αt

st

∞

( s α ) t

1 dt = s α

正弦、 5、正弦、余弦信号正弦、余弦信号的拉氏变换可以利用指 正弦、 数信号的拉氏变换求得。 数信号的拉氏变换求得。由复指数函数的拉 氏变换， 氏变换，有

L[e因为

jωt

1 ]= s jω

1 s + jω s ω = = 2 2+j 2 2 s jω (s + jω)(s jω) s +ω s +ω

由欧拉公式

e jω t = cos ω t + j sin ω t

有

L[ e

jω t

s ω ] = L [cos ω t + j sin ω t ] = 2 + j 2 2 2 s +ω s +ω

分别取上式的实部和虚部， 分别取上式的实部和虚部，可得正弦信号的拉氏变换为L[sin ωt ] =

ωs2 + ω 2

余弦信号的拉氏变换为s L[cos ω t ] = 2 s +ω29

常见的时域信号的拉氏变换见附录I(P639)。 常见的时域信号的拉氏变换见附录I(P639)。 I(P639)

复习3 复习3

拉氏变换的一些基本定理

1、线性定理若

L [ f 1 ( t )] = F 1 ( s ) L [ f 2 ( t )] = F 2 ( s )则

L[ a f1 ( t ) + b f 2 ( t )] = a F1 ( s ) + b F2 ( s )11

2、延迟定理若 则L[ f ( t )] = F ( s )

L[ f ( t τ )] = e τs F ( s )信号f(t)与它在时间轴上的平移信号f(t-T)的关系示意图 信号f(t)与它在时间轴上的平移信号f(t-T)的关系示意图 f(t)与它在时间轴上的平移信号f(tf(t) f(tf(t-τ)

t 0 0 τ

t

该定理说明，在时间域的平移变换在复数域有对应的 该定理说明， 12 衰减变换。 衰减变换。

求如图所示周期锯齿波信号的拉氏 变换。 变换。f(t)

该信号为周期信号。 解： 该信号为周期信号。若已知 信号第一周期的拉氏变换为 (s),则应用延迟定理， F1(s),则应用延迟定理， 有

T = 0.5sect 0 T

F ( s ) = F1 ( s ) + e Ts F1 ( s ) + e 2 Ts F1 ( s ) + L = F1 ( s )( 1 + e Ts + e 2 Ts + L ) 1 = F1 ( s ) Ts 1 e13

锯齿波信号第一周期的拉氏变换为

1 2 × 0.25 0.5s 1 0.5s 1 0.5s e 0.25s e 0.5s F1 ( s) = 2 e 2e = s s s s2

所以，周期锯齿波信号的拉氏变换为 所以，1 0.5s e 0.25s e 0.5s 1 1 0.5s e 0.25s e 0.5s F ( s) = = 2 0.5 s s 1 e s 2 (1 e 0.5s )

3、衰减定理若L[ f ( t )] = F ( s )

则

L [ e α t f ( t )] = F ( s + α )该定理说明，时间信号f(t)在时间域的指数衰减，其 该定理说明，时间信号f(t)在时间域的指数衰减， f(t)在时间

域的指数衰减 拉氏变换在复数域有对应的坐标平移。 拉氏变换在复数域有对应的坐标平移。

试求时间函数的拉氏变换。 试求时间函数的拉氏变换。

f ( t ) = e αt sin ω t

解：因为L [sin ω t ] =

ωs2 + ω 2

所以

L[e

αt

ω sin ωt ] = ( s + α )2 + ω 2