反比例函数教材分析
时间：2025-07-12
第十七章 反比例函数 2006.12.27
本章内容是在已经学习了平面直角坐标系和一次函数的基础上，再一次进入函数范畴，让学生进一步理解函数的内涵，并感受现实世界存在各种函数以及如何应用函数解决实际问题.反比例函数是最基本的函数之一，是学习后续各类函数的基础. 一、本章特点
1．突出反比例函数与现实世界的联系. 2．注重数学思想方法的渗透.
二、本章要求 1．知识结构框图
2．课程学习目标
⑴ 使学生理解并掌握反比例函数的概念，能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析
k
式y (k为常数，k≠0)，能判断一个给定函数是否为反比例函数.
x
⑵ 能描点画出反比例函数的图象，会用代定系数法求反比例函数的解析式，进一步理解函数的三种表示方法，即列表法、解析式法和图象法的各自特点.
k
⑶ 能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数y (k为常数，k≠0)的函数关系和性
x
质，能利用这些函数性质分析和解决一些简单的实际问题.
⑷ 再次经历“找出常量和变量，建立并表示函数模型，讨论函数模型，解决实际问题”的过程，进一步体会函数是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型. ⑸ 使学生在学习一次函数的基础上，进一步理解常量与变量的辨证关系和反映在函数概念中的运动变化观点，进一步认识数形结合的思想方法. 3．课时安排
本章共安排了2小节以及2个选学内容，教学时间约需8课时，大体分配如下（仅供参考）.
17.1 反比例函数 3课时 17.2 实际问题与反比例函数 4课时 小结 1课时 三、对教学的几点建议
1．注意做好与已学内容的衔接.
2．加强反比例函数与正比例函数的对比.
3．把突出函数中蕴涵的重要数学思想作为本章的主要线索.
4．密切反比例函数与现实世界的联系. 5．注意突破知识的难点和重点.
四、具体知识
1．反比例函数的概念
k
⑴ y (k≠0)可以写成y kx 1 (k≠0)的形式，注意自变量x的指数为-1，在解决有关
x
自变量指数问题时应特别注意系数k≠0这一限制条件；
k
⑵ y (k≠0)也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，
x
从而得到反比例函数的解析式；
k
⑶ 反比例函数y 的自变量x≠0，故函数图象与x轴、y轴无交点.
x
2．反比例函数的图象
k
在用描点法画反比例函数y 的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，故x应从1
x
和-1开始对称取点. 3
k
4．反比例函数y
xk
⑴ 过双曲线y (k≠0) x
所得矩形的面积为k.
⑵ 过双曲线y
k
(k≠0) x
5．实际问题与反比例函数.
⑴ ⑵ 6五、例题 [例1]
⑴ 下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）
A. y=3x B. y -3=2x C. 3xy=1 D. y=x2
⑵ 下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）
1111
A.y B.y 2 C.y D. y 1
x 24xxx[例2]
⑴ k = 时，函数y (k 2)xk⑵ 如果函数y (k 2)xk
2
2
2k 1
是反比例函数.
2k 1
2
的图象是双曲线，那么k=________.
是反比例函数，且它的图象在第二、四象限内，那么
⑶ 如果函数y (k 1)xk
. ⑷ 如果函数y (k 1)xk[例3]
2
k 3
k 3
是反比例函数，且y随x的增大而减小，那么.
⑴ 已知一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，则函数y 象限.
⑵ 已知反比例函数y
ab
的图象位于第________x
k
k 0 ，当x 0时，y随x的增大而增大，那么一次函数x
y kx k 的图象经过（ ）
A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限
C. 第一、三、四象限 D. 第二、三、四象限
k
⑶ 若反比例函数y 经过点(-1，2)，则一次函数y= -kx+2的图象一定不经过第.
x
a
⑷ 已知a·b 0，点P（a，b）在反比例函数y 的图象上，则直线y ax b不经过的象
x
限是（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ⑸ 若P（2，2）和Q（m，-m2）是反比例函数y
k
图象上的两点，则一次函数y=kx+mx
的图象经过（ ）
A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限 C. 第一、三、四象限 D. 第二、三、四象限
k
⑹ 已知函数y=k (x-1)和y (k≠0)，它们在同一坐标系内的图象大致是（ ）
x
yyyy
xxxxOO
ABC[例4]
k
⑴ 在反比例函数y k 0 的图象上有两点A x1,y1 ，B x2,y2 ，且x1 x2 0，则
x
y1 y2的值为（ ）
A. 正数 B. 负数 C. 非正数 D. 非负数
a2 111
⑵ 在函数y （a为常数）的图象上有三个点( 1,y1)，( ,y2)，(,y3)，则函
x42
数值y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A.y2<y3<y1 B.y3<y2<y1 C.y1<y2<y3 D.y3<y1<y2
k
(k>0)的图象上有三点A1 (x1，y1)，A2 (x2，y2)，A3 ( x3，y3)，已知 x
x1 < x2 < 0 < x3，则下列各式中正确的是（ ）
A. y1 < y2 < y3 B. y3 < y2 < y1 C. y2 < y1< y3 D. y3 < y1 < y2
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