限时练(五)

(建议用时：40分钟)

1．设全集U＝R，集合A＝{x|x－2x＜0}，B＝{x|x＞1}，则集合A∩ UB＝________．

解析 UB＝{x|x≤1}，A＝{x|0＜x＜2}，故A∩ UB＝{x|0＜x≤1}． 答案 {x|0＜x≤1}

2

2

2．复数(1＋2i)的共轭复数是________．

解析 (1＋2i)＝1＋4i－4＝－3＋4i，其共轭复数为－3－4i. 答案 －3－4i

2

2

3．已知等比数列{an}的公比为正数，且a3²a9＝2a5，a2＝1，则a1＝________．

解析 利用等比数列的通项公式求出公比，再求首项．设等比数列{an}的公比为q(q＞0)，则a3²a9＝2a5 a3²q＝2(a3q) q＝2，又a2＝1，所以a1＝

2

2

6

22

22

答案

22

4．从某项综合能力测试中抽取10人的成绩，统计如下表，则这10人成绩的方差为________.

－

解析 考查统计初步知识，先求平均数，x＝(5³3＋4³1＋3³1＋2³3＋1³2)＝3，

10

－1n2

再根据方差公式s＝i (xi－x)代入数据， ＝1

2

n

s2＝[3³(5－

3)2＋(4－3)2＋(3－3)2＋3³(2－3)2＋2³(1－3)2]＝.

答案

12

5

110125

5．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A>0，ω>0，0<φ<π)的图象如图所示，

π则f 的值为________． 3

3

解析 利用三角函数图象求出解析式，再求解函数值，由三角函数图象可得A＝2，T

4

1

＝

11ππ32π π ＝π，所以周期T＝π＝ω＝2.又函数图象过点 2 ，所以1264ω 6

f ＝2sin 2³＋φ ＝2，0<φ<π，解得φ＝，所以f(x)＝2sin 2x＋，f 6663

π

π

π6

π

π

＝2sin

2ππ＝1.

6 3

答案 1

6．已知集合A＝{2，5}，在A中可重复的依次取出三个数a，b，c，则“以a，b，c为边恰

好构成三角形”的概率是________．

解析 “在A中可重复的依次取出三个数a，b，c”的基本事件总数为2＝8，事件“以

3

a，b，c为边不能构成三角形”分别为(2，2，5)，(2，5，2)，(5，2，2)，所以P＝1

35

－88

5答案 8

x＋y≥3，

7．设变量x，y满足不等式组 x－y≥－1，则目标函数z＝2x＋3y的最小值是________．

2x－y≤3，

解析 不等式组对应的可行域如图，由图可知，当目标函数经过图中点(2，1)时取得最小值

7.

答案 7

8．下图是一个算法的流程图，最后输出的S＝________．

2

解析 当a＝5，P＝25＞24，S＝25；a＝6，P＝24＜25，输出的S＝25. 答案 25

9．表面积为12π的圆柱，当其体积最大时，该圆柱的底面半径与高的比为________．

解析 建立目标函数后利用导数求解．设圆柱的底面圆半径为r，高为l，则表面积为2πr＋2πrl＝12π，则l＝

32

6－r

2

r

6－r

，r∈(06)，体积为V＝πrl＝πr²＝π(6r

2

2

2

r

－r)，r6)，所以V′＝π(6－3r)，由V′＝0解得r＝2，且r2)时V′>0，r∈(2，6)时V′<0，所以r＝2时，该圆柱的体积取得最大值，此时高

2

l

4

r1

＝22，底面半径与高的比值为l22

1

答案 2

10．在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别是a，b，c，若a＝4，b＝5，△ABC的面积为

53，则c＝________，sin A＝________．

解析 由三角形面积公式可以求出sin C，得到锐角C的值，借助余弦定理求出c边，13

最后利用正弦定理求sin A．由S△ABC＝absin C，代入数据解得sin C，又C为锐

22角三角形的内角，所以C＝60°.在△ABC中，由余弦定理得c＝a＋b－2abcos C＝21，3

27asin C

即c21.再在△ABC中，由正弦定理得sin A＝＝.

c721

答案

21

27

7

2

2

2

11．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x∈(0，＋∞)时，都有不等式f(x)＋xf′(x)

1 1 0.20.2

＞0成立，若a＝4f(4)，b＝(log43)f(log43)，c＝ log4 f log4 ，则a，b，c

16 16 的大小关系是________．

解析 由f(x)＋xf′(x)＞0得(xf(x))′＞0，令g(x)＝xf(x)，则g(x)在(0，＋∞)1 0.2

递增，且为偶函数，且a＝g(4)，b＝g(log43)，c＝g log＝g(－2)＝g(2)，因为

16 0＜log43＜1＜4＜2，所以c＞a＞b.

答案 c＞a＞b

0.2

log2（1－x），x≤0，

12．已知函数f(x)＝ f(x)＝x的根从小到大构成数列{an}，则

f（x－1）＋1，x＞0，

a2 015

＝________．

解析 利用函数图象得数列通项公式，再求第2 015项．作出函数f(x)的图象如图，

3

由图象可知方程f(x)＝x的根依次是0，1，2，3， ，所以an＝n－1，故a2 015＝2 015－1＝

2 014.

答案 2 014

x2y22

13．在平面直角坐标系xOy221(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y

ab

＝4x的准线相交于A，B两点．若△AOB的面积为2，则双曲线的离心率为________．

解析 利用三角形面积建立基本量的关系求解．抛物线y＝4x的准线方程是x＝－1，双曲线的渐近线y＝±x与x＝－1的交点坐标分别是A －1，－，B －1， .又△AOB12b2222

的面积为2，所以³³1＝2，即b＝2a，b＝c－a＝4a，c5a，所以离心率e＝

2a

2

ba

b a b a

c

＝5. a

答案

5

14．如图，Ox、Oy是平面内相交成120°的两条数轴，e1，e2分别是与x轴、y轴正方向同

→→

向的单位向量，若向量OP＝xe1＋ye2，则将有序实数对(x，y)叫做向量OP在坐标系xOy中的坐标．

→→

(1)若OP＝3e1＋2e2，则|OP|＝________；

(2)在坐标系xOy中，以原点为圆心的单位圆的方程为________． 1

解析 由题意可得e1²e2＝cos 120°＝－.

2→2

(1)|OP|＝ （3e1＋2e2）＝9＋4－6＝7； (2)设圆O上任意一点Q(x，y)， →→

则OQ＝xe1＋ye2，|OQ|＝1，

122

即x＋2xy³ ＋y＝1，

2

故所求圆的方程为x－xy＋y－1＝0. 答案 (1)7 (2)x－xy＋y－1＝0

4

2

2

2

2