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§1 函数的单调性与极值 第一课时 导数与函数的单调性（一）

一、教学目标：1、知识与技能：⑴理解函数单调性的概念；⑵会判断函数的单调性，会求函数的单调区间。2、过程与方法：⑴通过具体实例的分析，经历对函数平均变化率和瞬时变化率的探索过程；⑵通过分析具体实例，经历由平均变化率及渡到瞬时变化率的过程。3、情感、态度与价值观：让学生感悟由具体到抽象，由特殊到一般的思想方法。 二、教学重点：函数单调性的判定 教学难点：函数单调区间的求法 三、教学方法：探究归纳，讲练结合 四、教学过程

（一）．创设情景

函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．下面，我们运用导数研究函数的性质，从中体会导数在研究函数中的作用． （二）．新课探究

1．问题：图3.3-1（1），它表示跳水运动 中高度h随时间t变化的函数

h(t) 4.9t 6.5t 10

2

的图像，图3.3-1

（2）表示高台跳水运动员的速度v随时间t 变化的函数像．

运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入 水这两段时间的运动状态有什么区别？

v(t) h(t) 9.8t 6.5

'

的图

通过观察图像，我们可以发现：（1）运动员从起点到最高点，离水面的高度h随时间t的增

v(t) h(t) 0加而增加，即h(t)是增函数．相应地，．（2）从最高点到入水，运动员离水v(t) h(t) 0面的高度h随时间t的增加而减少，即h(t)是减函数．相应地，．

'

'

2．函数的单调性与导数的关系

观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．

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如

图

导数表示

3.3-3，

f(x0)

'

函数

f(x)在点(x0,y0)处的切线的斜率．

在

x x0

处，

f(x0) 0

'

，切线

是“左下右上”式单调递增；

x

的，这时，函数f(x)在0附近

在

x x1

处，

f(x0) 0

'

x

，切线是“左上右下”式的，这时，函数f(x)在1附近单调递减．

结论：函数的单调性与导数的关系

在某个区间(a,b)内，如果f(x) 0，那么函数y f(x)在这个区间内单调递增；如果

f(x) 0

'

'

，那么函数y f(x)在这个区间内单调递减．

f(x) 0

'

说明：（1）特别的，如果

，那么函数y f(x)在这个区间内是常函数．

3．求解函数y f(x)单调区间的步骤： （1）确定函数

y f(x)

的定义域；（2）求导数

'

y f(x)

''

；（3）解不等式

f(x) 0

'

，解

集在定义域内的部分为增区间；（4）解不等式（三）．典例探析

f(x) 0

，解集在定义域内的部分为减区间．

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例1、已知导函数f(x)的下列信息： 当1 x 4时，f(x) 0； 当x 4，或x 1时，f(x) 0； 当x 4，或x 1时，f(x) 0 试画出函数y f(x)图像的大致形状．

解：当1 x 4时，f(x) 0，可知y f(x)在此区间内单调递增； 当x 4，或x 1时，f(x) 0；可知y f(x)在此区间内单调递减； 当x 4，或x 1时，f(x) 0，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”． 综上，函数y f(x)图像的大致形状如图3.3-4所示． 例2、判断下列函数的单调性，并求出单调区间．

（1）f(x) x 3x； （2）f(x) x 2x 3 （3）f(x) sinx xx (0, )； （4）f(x) 2x 3x 24x 1 解：（1）因为因此， （2）

2

3

2

3

2

'''

''

''

f(x) x 3x

3

3

，所以，

f(x) 3x 3 3(x 1) 0

'22

f(x) x 3x

在R上单调递增，如图3.3-5（1）所示．

因为

f(

'

x)

，所以，

x

f(x)x 22 3x 2 2 x 1

'

2

当当

f(x) 0f(x) 0

'

f(x) x 2x 3

，即x 1时，函数单调递增； f(x) x 2x 3，即x 1时，函数单调递减；

2

2

函数

f(x) x 2x 3

的图像如图3.3-5（2）所示．

，所以，

f(x) cosx 1

'

（3）因为

f(x) sinx xx (0, )

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因此，函数f(x) sinx x在(0, )单调递减，如图3.3-5（3）所示． （4）因为f(x) 2x 3x 24x 1，所以 ．

当f(x) 0，即 时，函数f(x) x 2x 3 ； 当f(x) 0，即 时，函数f(x) x 2x 3 ； 函数f(x) 2x 3x 24x 1的图像如图3.3-5（4）所示． 注：（3）、（4）生练

例3．如图

3.3-6，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）

3

2

'

2

'

2

3

2

注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图像．

分析：

以

容器（2）为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快．反映在图像上，（A）符合上述变化情况．同理可知其它三种容器的情况． 解：

1 B , 2 A , 3 D , 4 C

思考：例3表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢．结合图像，你能从导数的 …… 此处隐藏：824字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……