人教版必修二圆与方程专题讲义

一、标准方程 x a y b r2

1.求标准方程的方法——关键是求出圆心 a,b 和半径r 2.特殊位置的圆的标准方程设法（无需记，关键能理解）

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二、一般方程 x2 y2 Dx Ey F0

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D 2E4

F0

1.Ax2 By2 Cxy Dx Ey F 0表示圆方程，则

A B 0 A B 0

C 0 C 0 D2 E2 4AF 022

DEF 4 0 A A A

2.求圆的一般方程方法

①待定系数：往往已知圆上三点坐标 ②利用平面几何性质

涉及点与圆的位置关系：圆上两点的中垂线一定过圆心

涉及直线与圆的位置关系：相切时，利用到圆心与切点的连线垂直直线；相交时，利用到点到直线的距离公式及垂径定理

3.D2 E2 4F 0常可用来求有关参数的范围 三、点与圆的位置关系

1.判断方法：点到圆心的距离d与半径r的大小关系

d r 点在圆内；d r 点在圆上；d r 点在圆外

2.涉及最值：

（1）圆外一点B，圆上一动点P，讨论PB的最值

PBmin BN BC r PBmax BM BC r

（2）圆内一点A，圆上一动点P，讨论PA的最值

PAmin AN r AC PAmax AM r AC

思考：过此A点作最短的弦？（此弦垂直AC） 3.以A(x1,y1),B(x2,y2)两点为直径的圆方程为

(x x1)(x x2) (y y1)(y y2) 0

四、直线与圆的位置关系

1.判断方法（d为圆心到直线的距离） （1）相离 没有公共点 0 d r （2）相切 只有一个公共点 0 d r （3）相交 有两个公共点 0 d r 2.直线与圆相切 （1）知识要点 ①基本图形

②主要元素：切点坐标、切线方程、切线长等

问题：直线l与圆C相切意味圆心C到直线l的距离恰好等于半径r （2）常见题型——求过定点的切线方程 ①切线条数

点在圆外——两条；点在圆上——一条；点在圆内——无 ②求切线方程的方法及注意点 ．．．

i）点在圆外

22如定点P x0,y0 ，圆： x a y b r，[ x0 a y0 b r]

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第一步：设切线l方程y y0 k x x0 第二步：通过d r k，从而得到切线方程

特别注意：以上解题步骤仅对k存在有效，当k不存在时，应补上——千万不要漏了. 如：过点P 1,1 作圆x2 y2 4x 6y 12 0的切线，求切线方程. 答案：3x 4y 1 0和x 1

ii）点在圆上

若点 x0，y0 在圆 x a y b r2上，则切线方程为

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x0 a x a y0 b y b r2

注：碰到一般方程则可先将一般方程标准化，然后运用上述结果.

③求切线长：利用基本图形，AP CP r AP 求切点坐标：利用两个关系列出两个方程 3.直线与圆相交

（1）求弦长及弦长的应用问题：垂径定理及勾股定理 ．．．．

（2）判断直线与圆相交的一种特殊方法（一种巧合）：直线过定点，而定点恰好在圆内. （3）关于点的个数问题

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例：若圆 x 3 y 5 r上有且仅有两个点到直线4x 3y 2 0的距离为1，则

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2

22

2

AC r kAC kAP 1

半径r的取值范围是_________________. 答案： 4,6

4.直线与圆相离：会对直线与圆相离作出判断（特别是涉及一些参数时）

五、对称问题

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1.若圆x y m 1x 2my m 0，关于直线x y 1 0，则实数m的值为____.

答案：3（注意：m 1时，D E 4F 0，故舍去）

变式：已知点A是圆C:x2 y2 ax 4y 5 0上任意一点，A点关于直线x 2y 1 0的对称点在圆C上，则实数a _________.

2.圆 x 1 y 3 1关于直线x y 0对称的曲线方程是________________. 变式：已知圆C1： x 4 y 2 1与圆C2： x 2 y 4 1关于直线l对称，则直线l的方程为_______________.

3.圆 x 3 y 1 1关于点 2,3 对称的曲线方程是__________________.

4.已知直线l：y x b与圆C：x2 y2 1，问：是否存在实数b使自A 3,3 发出的光线被直线l反射后与圆C相切于点B 理由. 六、最值问题

方法主要有：（1）数形结合；（2）代换

例：已知实数x，y满足方程x y 4x 1 0，求：

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2

2

2

2

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, ？若存在，求出b的值；若不存在，试说明2525

y

的最大值和最小值；——看作斜率 x 5

（2）y x的最小值；——截距（线性规划）

（1）

（3）x y的最大值和最小值.——两点间的距离的平方 七、圆与圆的位置关系

1.判断方法：几何法（d为圆心距）

（1）d r1 r2 外离 （2）d r1 r2 外切 （3）r1 r2 d r1 r2 相交 （4）d r1 r2 内切 （5）d r1 r2 内含 2.两圆公共弦所在直线方程

2

2

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圆C1：x2 y2 D1x E1y F2 0， 1 0，圆C2：x y D2x E2y F

则 D1 D2 x E1 E2 y F1 F2 0为两相交圆公共弦方程. 注：若C1与C2相切，则表示其中一条公切线方程；

若C1与C2相离，则表示连心线的中垂线方程. 3．圆系问题

22（1）过两圆C1：x2 y2 D1x E1y F和：Cx y D2x E2y F2 0交点的 0212222

圆系方程为x y D1x E1y F1 x y D2x E2y F2 0（ 1）

注：1）上述圆系不包括C2；

2）当 1时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦）

C 0与圆x2 y2 Dx Ey F 0交点的圆系方程为（2）过直线Ax By

x2 y2 Dx Ey F Ax By C 0

（3）有关圆系的简单应用 （4）两圆公切线的条数问题

①相内切时，有一条公切线；②相外切时，有三条公切线； ③相交时，有两条公切线； ④相离时，有四条公切线 八、轨迹方程

（1）定义法（ …… 此处隐藏：786字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……