高考其应用

一、学习目标：

——一元二次不等式、基本不等式及

1. 掌握一元二次不等式的解法，会设计求解的算法框图。

2. 理解一元二次不等式与一元二次方程、二次函数之间的关系，并能利用它们的关系解决最值、恒成立、二次函数零点的分布问题。

3. 了解基本不等式的证明过程，会用基本不等式解决简单的最值问题。

二、重点、难点：

重点：

1. 一元二次不等式的解法及其简单的应用。 2. 利用基本不等式解决简单的最值问题

难点：利用一元二次不等式与一元二次方程、二次函数之间的关系解决最值、恒成立、二次函数零点的分布问题。

三、考点分析：

一元二次不等式、基本不等式及其应用是新课标高考的重点之一，主要考查一元二次不等式的解法及三个“二次”（一元二次不等式、一元二次方程、二次函数）之间的关系。基础知识的考查以选择、填空题为主，综合题将与集合、导数、解析几何、数列等知识联系在一起考查学生的能力，题目难度偏大。对基本不等式的考查主要是利用基本不等式求最值的方法及其应用。考查的题型有选择、填空题或涉及不等式、函数应用的综合试题。

一、不等关系及一元二次不等式的解法

1. 比较两个实数a，b大小的方法—差值法、商值法。 2. 不等式的性质：

（1）若a>b，b>c，则a>c； （2）若a>b，则a+c>b+c； （3）若a>b，c>0则ac>bc； （4）a>b，c>d a+c>b+d；

（5）a>b>0，c>d>0 ac bd 0；

bn, 。

3. 一元二次不等式的解法。

22（

（6）a>b>0，n N,n 1 a

n

4. 一元高次不等式、分式不等式的解法。 （1）一元高次不等式的解法——穿针引线法。 （2）分式不等式的解法转化为整式不等式的解法。

二、一元二次不等式、一元二次方程、二次函数的关系（三个“二次”的关系） 1. 一元二次方程、一元二次不等式、二次函数之间的关系的转化。

f(x) ax2 bx c 0(a 0)的解集是（ ， ] [ ， ）

a 0且f( ) f( ) 0（ , 是方程ax2 bx c 0(a 0)的两根) 二次不等式f(x) ax2 bx c 0(a 0)的解集是[ , ],(a )

a 0且f( ) f( ) 0（ , 是方程ax2 bx c 0(a 0)的两根)

二次不等式

2. 一元二次方程、一元二次不等式、二次函数之间的关系的应用。 恒成立的问题：

a 0

bx c 0（a 0)在x ( , )上恒成立 0 a 02

（2）ax bx c 0,(a 0)在x ( , )上恒成立

0

2

（3）f(x) ax bx c 0(a 0)在区间[m，n]上恒成立满足的条件是：

b m n b b m n 2a 或 或 2a 2a

b f( ) 0 f(m) 0 f(n) 0 2a

（1）ax

2

3. 二次函数

f(x) ax

2

bx c(a 0)的零点分布（即一元二次方程根的分布）问题

（1）二次方程f（x）=0的一个根大于r，另一个根小于r af(r) 0

b2 4ac 0 b

r（2）二次方程f（x）=0的两个根都大于r 2a af(r) 0

b2 4ac 0

b

（3）二次方程f（x）=0的两个根都在（p，q）内 p q

2a af(p) 0,af(q) 0

af(p) 0

（4）二次方程f（x）=0的两个根一个根小于p，另一个根小于q（p<q）

af(q) 0

（5）二次方程f（x）=0有且只有一个根在（p，q）内 f(p)f(q) 0或检验f（p）

=0，f（q）=0检验另一个根在（p，q）内。

三、基本不等式及其简单的应用 1. 两个基本不等式 （1）a2

（当且仅当a=b时等号成立）。 b2 2ab,(a,b R)，

a b

,(a,b R )，（2）（当且仅当a=b时等号成立）。 2由上述的两个基本不等式得：

a2 b2ab 2a2 b2 2ab,(a,b R) 22 (a b)2 a b 2 2

a b2

a b 2(a,b R ) ab ()

2

2a ba2 b2

（a,b R ）

22 ab

2. 基本不等式的应用：

x y2p2

) （1）若x+y=p（p为定值，x，y R) xy (，（当x=y时取等号，和24

定积大）

（2）若xy=S（S为定值，x，y R )积定和小）

x y 2xy 2S,（当x y时取等号，

a b

,(a,b R )求最值时需注意三点：（一正、二定、三相等） 2

4. 基本不等式在实际问题中的应用：审题 建模 利用基本不等式求解 还原到实际问

3.

利用基本不等式题中。

知识点一：一元二次不等式的解法及其应用

例1. 基础题

2ax 3a2 0的解集是————————。

112

2. 若不等式ax bx 2 0的解集是( ,)，则a+b=_________。

23

1. 不等式a 0,x2

5x 1

3的解集是————————————————。 x 1

22

思路分析：1. 求出方程x 2ax 3a 0的两根，比较其大小，写出解集

1111

2. 根据不等式的解集是( ,)知： ,是方程的根且a<0， 由根与系数的关系求a，

2323

3. 不等式b。

3. 原不等式移项通分转化为一元二次不等式。

2ax 3a2 0的两根是x1 3a,x2 a,由a<0知：

x1 x2，故不等式的解集是(3a, a)

11

2. 由已知得： ,是方程的根且a<0， 由根与系数的关系得：

23

b 11

23a a 12 112 b 2 ( ) 23a

故a+b=－14

解题过程：1. 因为方程x2

5x 15x 1x 2

3得： 3 0 0 x 1或x 2 x 1x 1x 1

故不等式的解集是( , 2] (1, )

3. 由

解题后的思考：对一元二次不等式的解法关键是求对应方程的根，求方程的根时首先考虑用因式分解法求根，然后比较 …… 此处隐藏：5851字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……