上海市七宝中学等七校2013届高三3月联考 数学 (文科) 2013年3月6日

(上师大附中、七宝中学、向明中学、廸平中学、延安中学、南洋模范、复兴高级)

（完卷时间120分钟 满分150分）

一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，只要求将最终结果直接填写答题纸上相

应的横线上，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1. 若2cosx sinx 0，则tan(2. 线性方程组

4

x) x 2y 3的增广矩阵是 . 2x y 3

在复平面内对应的点分别是A、3. 已知复数z 1 i的共轭复数是，z B，O为坐标原

点，则 AOB的面积是 .

1x 1

4. 若函数f(x) 8的图像经过点(，a)，则f(a) .

3

b c分别是锐角 ABC中角A， B， C所对的边，若a 2csinA，则角C . 5. 设a，，

6. 设等差数列{an}的公差为正，若a1 a3 2， a1a3 3，则a4 a5 a6

7. 已知向量a (2， 3)， b ( 4， 7)，若(a 2b)//(a b)，则

22n 1

8. 若lim(1 a a a) ，

n 310

则二项式(x 2a)展开式的系数和是 .

9. 如图的程序框图运行后输出的结果是 .

10. 一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个函数：

f1(x) x3,f2(x) 5,f3(x) 2，f4(x) 2x 2 x，

x

f5(x) cosx，f6(x) xcosx.从中任意拿取2张

卡片，则两张卡片上写着的函数相加得到的新函数为奇函 数的概率是 . 11. 已知f(x)

arcsinx第9题图

的最大值和最小值分别 x x

2 2

是M和m，则M m .

2y2

F2分别为双曲线x 1(a 0，t 0)的左、12. 设F1、右焦点，过F1且倾斜角为30 的

直线与双曲线的右支相交于点P，若|PF2| |F1F2|，则t 1 x M(其中M是实数集R的 1 x M

非空真子集)，若A {x||x 1| 2}， B {x| 1 x 1}，则函数

2fA B(x) 1

F(x) 的值域为 .

fA(x) fB(x) 1

14. 如图所示，四棱锥P ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，Q 棱PA，AC BD O．有下列命题： ①若Q是PA的中点，则PC//平面BDQ；

②若PB PD，则BD CQ；

③若 PAC是正三角形，则PO 平面ABCD；

④若PA PC，PB PD 3， ABC 60 ， B

则四棱锥P ABCD的体积为第14题图

13. 函数fM(x)的定义域为R，且定义如下：fM(x)

其中正确的命题是 .

二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应的正确代号用2B铅笔涂黑，选对得5分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分.

15. 若抛物线x2 2py(p 0)上不同三点的横坐标的平方成等差数列，

那么这三点 ( )

A．到原点的距离成等差数列 B．到x轴的距离成等差数列

C．到y轴的距离成等差数列 D．到焦点的距离的平方成等差数列 16. 若f(x) sinx在区间(a，b)(a b)上单调递减，则x (a，b)时， ( ) A.sinx 0 B.cosx 0 C.tanx 0 D.tanx 0 17. 已知a， b C，则下列结论成立的是 ( )

A.|a b| C.

B.a2 b2 0 a b 0

a2 b2 0 |a| |b| D.a b 0 a b

b满足a 0， b 0，且ab 0，则称a与b

互补．记18. 若实数a、

(a， b) a b，那么“ (a， b) 0”是“a与b互补”的 ( )

A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也

非必要条件

三、解答题：

19. (本题满分12分)本题共有2小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分6分．

B， C所对的边分别是a，， b c，向量m (a，设 ABC的角A， b),

a 2). n (sinB， sinA)，p (b 2，

(1)若m//n，求证： ABC为等腰三角形；

(2)若m p，边长c 2，角C ，求 ABC的面积.

3

20. (本题满分14分)本题共有2小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分．

空气污染指数(API)是一种用于反映和评价空气质量的数量，我国计入空气污染指数的项目暂定为：总悬浮颗粒物(PM10)、SO2和NO2.其计算公式为

I

I大 I小C大 C小

C为该污染物的浓度；(C C小) I小，其中I为某污染物的污染指数，C大(I大)

和C小(I小)分别是API分级限值表(附表)中最贴近C(I)值的两个限值.根据这个公式分别计算各污染物的API分指数；选取API分指数最大值为全市API,且该项污染物即为该市空

气中的首要污染物.

(1)若某地区的PM10、SO2和NO2日均值分别为0.215毫克/立方米，0.105毫克/立方米和0.080毫克/立方米，求空气污染指数API，并指出首要污染物；

(2)已知某地的首要污染物为SO2，PM10和NO2的API分指数分别为122和67，政府对相关企业进行限排，减少SO2和PM10的污染，使得首要污染物变成了PM10，且其分指数不超过80，SO2的API分指数低于NO2的API分指数，求限排后SO2和PM10浓度的范围.

附表：API分级限值表

污染指数限值 污染物浓度(毫克/立方米)(日均值) 污染物浓度(小时均值) API PM10 CO

SO2 NO2 O3

50

100 200 300 400 500

0.050 0.150 0.800 1.600 2.100 2.620

0.080 0.120 0.280 0.565 0.750 0.940

0.050 0.150 0.350 0.420 0.500 0.600

5 10 60 90 120 150

0.120 0.200 0.400 0.800 1.000 1.200

21. (本题满分14分)本题共有2小题，第(1)小题满分7分，第(2)小题满分7分．

如图，已知抛物线y 4x的焦点为F，过点P(2， 0)且斜率为k1的直线交抛物线于

2

BF分别与抛物线交于点M、 N． A(x1， y1)，B(x2， y2)两点，直线AF、

(1)证明y1 y2的值与k1无关，并用y1，y2表示k1；

k

(2)记直线MN的斜率为k2.证明1为定值．

k2

22. (本题满分16分)本题共有3小题，第(1)小题4分，第(2)小题5分，第(3)小题7分．

已知函数f(x) x 2ax(a 0)

(1)当a 2时，解关于x的不等式 3 f(x) 5； (2)函数y f(x)在[0， 2]的最大值为，求正数a的值；

(3)对于给定的正数a，有一个最大的正数M(a)，使得在整个区间[0， M(a)]上，不等式|f(x)| 5恒成立. 求出M(a)的解析式.

23. (本题满分18分)本题共有3小题，第(1)小题4分，第(2)小题6分，第(3)小题8分．

一青蛙从点A0(x0,y0)开始依次水平向右和竖直向上跳动，其落点坐标依次是 y0)Ai(xi， yi)(i N )，(如图所示，A0(x0，

2

Sn表示青蛙从点A0到点An所经过的路程.

y0)为抛物线y 2px(p 0)准线上 (1)若点A0(x0，

一点，点A1， A2均在该抛物线上，并且直线A1A2经过 该抛物线的焦点，证明S2 3p.

(2)若点An(xn， yn)要么落在y x所表示的曲线上，

2

2

n

要么落在y x所表示的曲线上，并且A0( ),试写出limSn(请简要说明理由)；

11

22

yn)要么落在y x所表示的曲线上，要么落在y 2x所表示的曲线上，并(3)若点An(xn，

且A0(， 1),求数列{xn}和{yn}的通项公式.

1

2

数学(文科)参考答案及评分标准

一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，只要求将最终结果直接填写答题纸上相

应的横线上，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 24. 若2cosx sinx 0，则tan(25. 线性方程组

4

x) 3

3

2xx 2yy 3

的增广矩阵是 .

12

23

1 3

在复平面内对应的点分别是A、26. 已知复数z 1 i的共轭复数是，z B，O为坐标

原点，则 AOB的面积是 .

27. 若函数f(x) 8x的图像经过点(，a)，则f 1(a) 131 3

28. 设a，，若a 2csinA，则角C . b c分别是锐角 ABC中角A， B， C所对的边，

6

29. 设等差数列{an}的公差为正，若a1 a3 2， a1a3 3，则a4 a5 a6 21

30. 已知向量a (2， 3)， b ( 4， 7)，若(a 2b)//(a b)，则 . 2

210

31. 若lim(1 a a2 an 1) ，则二项式(x 2a)展开式的系数和是1024.

n 3

32. 如图的程序框图运行后输出的结果是 .63 33. 一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个函数：

f1(x) x,f2(x) 5,f3(x) 2，f4(x) 2 2，

3

x

x x

f5(x) cosx，f6(x) xcosx.从中任意拿取2张

卡片，则两张卡片上写着的函数相加得到的新函数为奇函

1数的概率是 .(或0.2)

5

arcsinx

34. 已知f(x) x的最大值和最小值分别

2 2 x

是M和m，则M m .0 第9题图

22y

F2分别为双曲线x 1(a 0，t 0)的左、35. 设F1、右焦点，过F1且倾斜角为30 的

直线与双曲线的右支相交于点P，若|PF2| |F1F2|，则t

1 x M(其中M是实数集R的

36. 函数fM(x)的定义域为R，且定义如下：fM(x)

1 x M

非空真子集)，若A {x||x 1| 2}， B {x| 1 x 1}，则函数

2fA B(x) 1

F(x) 的值域为 . {1， 3}

fA(x) fB(x) 1

37. 如图所示，四棱锥P ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，Q 棱PA，AC BD O．有下列命题： ①若Q是PA的中点，则PC//平面BDQ；

②若PB PD，则BD CQ；

③若 PAC是正三角形，则PO 平面ABCD；

④若PA PC，PB PD 3， ABC 60 ，

B 则四棱锥P

ABCD的体积为第14题图

其中正确的命题是 .①②④

二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结

论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应的正确代号用2B铅笔涂黑，选对得5分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分.

38. 若抛物线x2 2py(p 0)上不同三点的横坐标的平方成等差数列，

那么这三点 ( B )

A．到原点的距离成等差数列 B．到x轴的距离成等差数列

C．到y轴的距离成等差数列 D．到焦点的距离的平方成等差数列 39. 若f(x) sinx在区间(a，b)(a b)上单调递减，则x (a，b)时， ( B ) A.sinx 0 B.cosx 0 C.tanx 0 D.tanx 0 40. 已知a， b C，则下列结论成立的是 ( C )

A.|a b| C.

B.a2 b2 0 a b 0

a2 b2 0 |a| |b| D.a b 0 a b

b满足a 0， b 0，且ab 0，则称a与b

互补．记41. 若实数a、

(a， b) a b，那么“ (a， b) 0”是“a与b互补”的 ( C )

A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也

非必要条件 三、解答题：

42. (本题满分12分)本题共有2小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分6分．

B， C所对的边分别是a，， b c，向量m (a，设 ABC的角A， b),

a 2). n (sinB， sinA)，p (b 2，

(1)若m//n，求证： ABC为等腰三角形；

(2)若m p，边长c 2，角C ，求 ABC的面积.

3

证明：(证法一)(1) ∵m∥n， ∴asinA bsinB， 3分

ab

由正弦定理可知，a ，其中R是 ABC外接圆的半径， b

2R2R

∴a b.∴ ABC为等腰三角形. 6分

(证法二)∵m∥n， ∴asinA bsinB， 3分 由正弦定理可知，sin2A sin2B，∴sinA sinB ∵A、 B (0， )，∴A B. 即 ABC为等腰三角形. 6分

(2)由题意可知，m p 0，即a(b 2) b(a 2) 0，∴a b ab 8分

由余弦定理可知，4 a b ab (a b) 3ab,即(ab) 3ab 4 0

2

2

2

2

ab 4，(ab 1舍去) 10分

11

∴S ABC absinC 4sin . 12分

224

43. (本题满分14分)本题共有2小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分． 空气污染指数(API)是一种用于反映和评价空气质量的数量，我国计入空气污染指数的项目暂定为：总悬浮颗粒物(PM10)、SO2和NO2.其计算公式为

I

I大 I小C大 C小

C为该污染物的浓度；(C C小) I小，其中I为某污染物的污染指数，C大(I大)

和C小(I小)分别是API分级限值表(附表)中最贴近C(I)值的两个限值.根据这个公式分别计算各污染物的API分指数；选取API分指数最大值为全市API,且该项污染物即为该市空

气中的首要污染物.

(1)若某地区的PM10、SO2和NO2日均值分别为0.215毫克/立方米，0.105毫克/立方米和0.080毫克/立方米，求空气污染指数API，并指出首要污染物；

(2)已知某地的首要污染物为SO2，PM10和NO2的API分指数分别为122和67，政府对相关企业进行限排，减少SO2和PM10的污染，使得首要污染物变成了PM10，且其分指数不超过80，SO2的API分指数低于NO2的API分指数，求限排后SO2和PM10浓度的范围. 附表：API分级限值表

污染指数限值 污染物浓度(毫克/立方米)(日均值) 污染物浓度(小时均值) API PM10 CO

SO2 NO2 O3

50

100 200 300 400 500

0.050 0.150 0.800 1.600 2.100 2.620

0.080 0.120 0.280 0.565 0.750 0.940

0.050 0.150 0.350 0.420 0.500 0.600

5 10 60 90 120 150

0.120 0.200 0.400 0.800 1.000 1.200

解：(1)设Ik(k 1，， 2 3)分别为PM10、 SO2和NO2的污染指数，

Ck(k 1，， 2 3)分别为PM10、 SO2和NO2的浓度 根据上表，对于PM10，∵0.150 0.215 0.350， ∴C大 0.350， C小 0.150， I大 200， I小 100， 1分 200 100

(0.215 0.150) 100 132.5 3分

0.350 0.150

100 50

同理SO2的API分指数I2 (0.105 0.050) 50 77.5

0.150 0.050

NO2的API分指数I3 50 5分 由此可见，空气污染指数API为132.5，首要污染物为总悬浮颗粒物PM10 6分

100 50

(2)依题意，I1 (C1 0.050) 50 (67， 80]，

0.150 0.050

解得0.084 C1 0.110 10分

100 50I2 (C2 0.050) 50 67，解得C1 0.084

0.150 0.050

∴限排后PM10和SO2浓度的范围分别是(0.084， 0.110]和[0， 0.084). 14分

其API分指数为I1

44. (本题满分14分)本题共有2小题，第(1)小题满分7分，第(2)小题满分7分．

如图，已知抛物线y 4x的焦点为F，过点P(2， 0)且斜率为k1的直线交抛物线于

2

BF分别与抛物线交于点M、 N． A(x1， y1)，B(x2， y2)两点，直线AF、

(1)证明y1 y2的值与k1无关，并用y1，y2表示k1；

k

(2)记直线MN的斜率为k2.证明1为定值．

k2

证明：(1)依题意，设直线AB的方程为x my 2． 1

将其代入y 4x，消去x，整理得 y 4my 8 0． 4从而y1y2 8．与k1无关 52

2

y1 y2y1 y24

2 7分 2

x1 x2y1y2y1 y2

44

(2)证明：设M(x3， y3)，N(x4， y4)．

又k1

k1y1 y2x3 x4y y

2122k2x1 x2y3 y4y1y

244

设直线AM的方程为x ny 1，将其代入y2 4x，消去x，

整理得 y2 4ny 4 0．所以 y1y3 4． 10分

则

同理可得 y2y4 4． 11分

y32y42

y3 y4． 8分

y3 y4y1 y2

4 4

y y4kyy2 41

故1 3 1 ． 13分 k2y1 y2y1 y2y1y22

k1

由(1)知，y1y2 8，∴1 为定值． 14分

k22

45. (本题满分16分)本题共有3小题，第(1)小题4分，第(2)小题5分，第(3)小题7分．

已知函数f(x) x 2ax(a 0)

(1)当a 2时，解关于x的不等式 3 f(x) 5； (2)函数y f(x)在[0， 2]的最大值为，求正数a的值；

(3)对于给定的正数a，有一个最大的正数M(a)，使得在整个区间[0， M(a)]上，不等式|f(x)| 5恒成立. 求出M(a)的解析式.

2x 4x 5 0 ① 1分

解：(1)a 2时， 3 f(x) 5 2

x 4x 3 0 ②

由①得， 1 x 5，由②得，x 1或x 3， ∴( 1， 1) (3， 5)为所求. 4分 (2)f(x) (x a)2 a2(0 x 2)，

当a 1时，[f(x)]max f(0) 0，不合题意， 6分 当0 a 1时，[f(x)]max f(2) 4 4a 1 a 3 8分

综上所述，a 9分

4

(3)∵a 0，当 a2

5，即a

时，M(a) a 12分

2

当 5 a2

0，即0 a

时，M(a) a 15分

aa∴M(a) 16分 a a

46.

(本题满分18分)本题共有3小题，第(1)小题4分，第(2)小题6分，第(3)小题8分．

一青蛙从点A0(x0,y

0) y0)Ai(xi， yi)(i N )，(如图所示，A0(x0，Sn表示青蛙从点A0到点An所经过的路程.

y0)为抛物线y 2px(p 0)准线上 (1)若点A0(x0，

A2均在该抛物线上，并且直线A1A2经过 一点，点A1，

2

该抛物线的焦点，证明S2 3p.

(2)若点An(xn， yn)要么落在y x所表示的曲线上，

要么落在y x所表示的曲线上，并且A0( ),试写出limSn(请简要说明理由)；

n

2

11

22

(3)若点An(xn， yn)要么落在y x所表示的曲线上，要么落在y 2x所表示的曲线上，并且A0(， 1),求数列{xn}和{yn}的通项公式.

1

2

p， y0)，由于青蛙依次向右向上跳动， 2pp

所以A1(， 4分 y0)，A2(， y0)

，由抛物线定义知：S2 3p

2(2) 依题意，x2n 1 x2n x2n 1， y2n y2n 1 x2n 1(n N*) 6分

解：(1)设A0(

limSn |A0A1| |A1A2| |A2A3| |A3A4| |A2n 2A2n 1| |A2n 1A2n|

n

(x1 x0) (y2 y1) (x3 x2) (y4 y3) (x5 x4) (x2n 1 x2n) (y2n y2n 1) 2(x1 x0) 2(x3 x2) 2(x5 x4) 2(x2n 1 x2n)

随着n的增大，点An无限接近点(1， 1) 8分 横向路程之和无限接近1 所以 limSn=

n

1111

，纵向路程之和无限接近1 2222

11

1 10分 22

(注：只要能说明横纵坐标的变化趋势，用文字表达也行) (3)设点A2k(x2k， y2k)， A2k 1(x2k 1， y2k 1)，由题意，An的坐标满足如下递推关系：

1

1 2 3 )， x2k 1 x2k 2(k 0，，，， 1 2 3 ) 11分 x0 ， y0 1，且y2k 1 y2k(k 0，，，，

2

其中y2k 1 x2k 1， y2k 2x2k，∴x2k 1 x2k 2 y2k 2x2k，

1

∴{x2k}是以x0 为首项，2为公比的等比数列，

2

1

∴x2k 2k，y2k 2k

2

n

1n

即当n为偶数时，xn 22，yn 22 13分

2

又x2k 1 x2k 2 2k，y2k 1 x2k 1 2k

∴当n为奇数时，xn 2

n 12

， yn 2

n 1

2

15分

1n 1 n2 2(n为奇数） 22(n为奇数）∴xn ，yn n； 18分 n

1 22(n为偶数） 22(n为偶数）

2

(注：本小题若没有写出递推关系，直接归纳得到正确结论而没有证明，扣4分)