第一章曲线论

§1 向量函数

1. 证明本节命题3、命题5中未加证明的结论。

略

2. 求证常向量的微商等于零向量。

证：设，为常向量，因为

所以。证毕3. 证明

证：

证毕4. 利用向量函数的泰勒公式证明：如果向量在某一区间所有的点其微商为零，则此向量在该区间上是常向量。

证：设，为定义在区间上的向量函数，因为在区间上可导当且仅当数量函数，和在区间上可导。所以，

，根据数量函数的Lagrange中值定理，有

其中，，介于与之间。从而

上式为向量函数的0阶Taylor公式，其中。如果在区间上处处有，则在区间上处处有

，从而，于是。证毕

5. 证明具有固定方向的充要条件是。

证：必要性：设具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，于是。

充分性：如果，可设，令，其中为某个数量函数，为单位向量，因为，于是

因为，故，从而

为常向量，于是，，即具有固定方向。证毕

6. 证明平行于固定平面的充要条件是。

证：必要性：设平行于固定平面，则存在一个常向量，使得，对此式连续求导，依次可得和，从而，，和共面，因此。

充分性：设，即，其中，如果，根据第5题的结论知，具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，任取一个与垂直的单位常向量，于是作以为法向量过原点的平面，则平行于。如果，则与不共线，又由可知，，，和共面，于是，

其中，为数量函数，令，那么，这说明与共线，从而，根据第5题的结论知，具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，作以为法向量，过原点的平面，则平行于。证毕

§2曲线的概念

1. 求圆柱螺线在点的切线与法平面的方程。

解：，点对应于参数，于是当时，，，于是切线的方程为：

法平面的方程为

2. 求三次曲线在点处的切线和法平面的方程。

解：，当时，，，

于是切线的方程为：

法平面的方程为

3. 证明圆柱螺线的切线和轴成固定角。

证：

令为切线与轴之间的夹角，因为切线的方向向量为，轴的方向向量为，则

证毕

4. 求悬链线从起计算的弧长。

解：

5. 求抛物线对应于的一段的弧长。

解：

6. 求星形线，的全弧长。

解：

7. 求旋轮线，对应于一段的弧长。解：

8. 求圆柱螺线从它与平面的交点到任意点的弧长。

解：圆柱螺线与平面的交点为，交点对应的参数为，而，

9. 求曲线，在平面与平面之间的弧长。解：取为曲线参数，曲线的向量参数方程为：

平面对应于参数，平面对应于参数，

10. 将圆柱螺线化为自然参数表示。

解：，因为自然参数

11. 求极坐标方程给定的曲线的弧长表达式。

解：极坐标方程给定的曲线的方程可化为向量参数形式：

§3 空间曲线

1. 求圆柱螺线在任意点的密切平面的方程。

解：密切平面的方程为

即

2. 求曲线在原点的密切平面、法平面、从切平面、切线、主法线、副法线的方程。

解：

原点对应于参数,于是在处，

密切平面的方程为

副法线的方程为

法平面的方程为：

切线的方程为

从切平面的方程为

主法线的方程为

3. 证明圆柱螺线的主法线和轴垂直相交。证：

一方面，主法线的方程为

另一方面，过圆柱螺线上任意一点

作平面π与轴垂直，π的方程为，π与轴的交点为，过与的直线显然与轴垂直相交，而其方程为

这正是主法线的方程，故主法线和轴垂直相交。证毕

4．在曲线的副法线的正向取单位长，求其端点组成的新曲线的密切平面。

解：令，则曲线的方程可表示为：

设的副法线向量为，则有

根据题意，新曲线的方程可表示为

}

将代入上式，整理后，得

于是新曲线的密切平面为：

即：

5. 证明球面曲线的法平面通过球的中心。

证：设曲线为球心在原点，半径为的球面上的曲线,其中为自然参数。曲线(C)上任意一点P（P点的向径为）处的基本向量为，，。则有

上式两边关于求导，得

设为法平面上的点的向径，则曲线(C)上任意一点P处的法平面的向量方程为

根据(2)式满足方程(3)，故法平面过原点。证毕

6. 证明过原点平行于圆柱螺线的副法线的直线的轨迹是锥面。

证：

设过原点且与平行的直线上的点为,则直线的方程为

化为参数方程，得

则有

这说明直线上的点都在锥面上。证毕7. 求下列曲线的曲率和挠率。

，

解: 对于曲线(1)

对于曲线(2)

8. 给定曲线，求（1）基本单位向量，，；（2）曲率和挠率；（3）验证伏雷公式。

解: 对于给定曲线，有

其中，

根据(5)(6)(8)式可得，根据(6)(9)(10)式，可得，又根据(6)式，得

另一方面，根据(4)(7)(8)(10)式，可得

从而，

。

9. 证明：如果曲线的所有切线都经过一个定点，则此曲线是直线。

证1：设曲线(C )的向量参数方程为： ，其中为自然参数。(C )上任意一点P （P 点的向径为）处的基本向量为，，。因为(C )在P 点处的切线都经过一定点Q （Q 点的向径设为），所以与共线，进而有

(1) 上式两端关于求导并利用Frenet 公式，得：

(2)

(2)式中的为(C )在P 点处的曲率。又(2)式中

，这是因为如果 ，则同时与和共线，但这是不可能的，因为和是相互

正交的单位向量。从而根据(2)式有

，即(C )是直线。 证毕

证2：设曲线的方程为)(t r r =，因为曲线上任一点的切线经过一定点0r ，则0-与'共线，但'0'

)(-=，于是0-与'0)(r r -共线，从而 )(0-⨯'0)(-=0,由此可知0-具有固定的方向，即0-与一个常向量平行，于是0-=p λ,或p r r λ+=0，这说明曲线上的点都在以p 为方向向量，过点0r 的直线上，所以曲线为直线。 证毕

10. 证明：如果曲线的所有密切平面都经过一个定点，则此曲线是平面曲线。

证：设曲线(C)的向量参数方程为：，其中为自然参数。曲线(C)上任意一点P（P点的向径为）处的基本向量为，，。因为我们只研究不含逗留点的曲线（参见教科书P.31的脚注），即，

而

即(C)上任何点的曲率。

设(C)在P点处的密切平面都经过一个定点Q （Q点的向径设为），则为

(C)在P点处的密切平面上的一个向量，从而有

(1)

(1) 式两端关于求导并利用Frenet公式，得：

(2)

(2)式中的为(C)在P点处的挠率。

由(2)式可知，或者

但，因为如果结合(1)式,可知与共线，于是(3)

(3)式两端关于求导并利用Frenet公式，得：

(4)

(4)式中的为(C)在P点处的曲率。因为，所以，结合(3)知

同时与和共线，但这是不可能的，因为和是相互正交的单位向量。这个矛盾说明，于是由(2)式可知，只能，曲线(C) 是平面曲线。证毕

11. 证明：如果曲线的所有法平面都包含常向量，则此曲线是平面曲线。

证1：设曲线(C)的向量参数方程为：，其中为自然参数。(C)上任意一点P（P点的向径为）处的基本向量为，，。因为(C)在P点处的法平面都包含常向量，则有

(1)

注意到，(1)式两端关于从到求积分，得：

(2)

（2）式说明曲线(C)在以常向量为法向量且过点的平面上。证毕证2：设曲线(C)的向量参数方程为：，其中为自然参数。(C)上任意一点P（P点的向径为）处的基本向量为，，。因为我们只研究不含逗留点的曲线（参见教科书P.31的脚注），即，

而

即(C)上任何点的曲率。

因为(C)在P点处的法平面都包含常向量，则

(1)

上式两端关于求导并利用Frenet公式，得：

(2)

因为，所以

(3) ，

结合(1)式可知与共线，从而

(4)

(4)式两端关于求导并利用Frenet公式，得：

(5)

(5)式中，否则，根据(3)式，和将同时成立，即既与平行，又与垂直，这是矛盾。于是只能是，所以曲线(C) 是平面曲线。

证毕12. 证明曲率为常数的空间曲线的曲率中心的轨迹仍是曲率等于常数的曲线。证：设曲率为常数的空间曲线(C)的向量参数方程为：，其中为自然参数。(C)上任意一点P处的基本向量为，，，曲率半径为，又设(C)的曲率中心的轨迹为，的曲率记为，根据题意，的方程为

(1)式两边关于求导，得

(4)式说明的曲率也是常数且。证毕

13. 证明曲线(C)：为平面曲线，并求出它所在平面的方程。

解：