2008届高考数学概念方法题型易误点技巧总结(八)圆锥曲线

2008届高考数学概念方法题型易误点技巧总结（八）圆锥曲线

1.圆锥曲线的两个定义：

（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：

椭圆中，与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a，且此常数2a一定要大于F1F2，当常数等于F1F2时，轨迹是线段F1F2，当常数小于F1F2时，无轨迹；

双曲线中，与两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a，且此常数2a一定要小于|F1F2|，定义中的“绝对值”与2a＜|F1F2|不可忽视。若2a＝|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线，若2a﹥|F1F2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。

（2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率e。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。如

2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：

x2y2x acos （1）椭圆：焦点在x轴上时2 2 1（a b 0） y bsin （参数方程，其中 为参数），

aby2x2

焦点在y轴上时2 2＝1（a b 0）。方程Ax2 By2 C表示椭圆的充要条件是什么？（ABC≠0，

ab

且A，B，C同号，A≠B）。如

x2y2y2x2

（2）双曲线：焦点在x轴上：2 2 =1，焦点在y轴上：2 2＝1（a 0,b 0）。方程

abab

。如

Ax2 By2 C表示双曲线的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B异号）

（3）抛物线：开口向右时y2 2px(p 0)，开口向左时y2 2px(p 0)，开口向上时

x2 2py(p 0)，开口向下时x2 2py(p 0)。

3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）

： （1）椭圆：由x2,y2分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。如

（2）双曲线：由x2,y2项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上； （3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 特别提醒：

（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F1，F2的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数a,b，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向；

（2）在椭圆中，a最大，a2 b2 c2，在双曲线中，c最大，c2 a2 b2。

4.圆锥曲线的几何性质：

x2y2

（1）椭圆（以2 2 1（a b 0）为例）：

ab

①范围： a x a, b y b； ②焦点：两个焦点( c,0)；

③对称性：两条对称轴x 0,y 0，一个对称中心（0,0），四个顶点( a,0),(0, b)，其中长轴长为2a，短轴长为2b；

a2

④准线：两条准线x ；

c

⑤离心率：e

c

，椭圆 0 e 1，e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁。

a

x2y2

（2）双曲线（以2 2 1（a 0,b 0）为例）：

ab

①范围：x a或x a,y R； ②焦点：两个焦点( c,0)；

③对称性：两条对称轴x 0,y 0，一个对称中心（0,0），两个顶点( a,0)，其中实轴长为2a，虚轴长为2b，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为x2 y2 k,k 0；

a2

④准线：两条准线x ；

c

⑤离心率：e 越大；

c

，双曲线 e 1 e e越小，开口越小，e越大，开口a

b

x。 a

⑥两条渐近线：y

（3）抛物线（以y2 2px(p 0)为例）： ①范围：x 0,y R；

p

②焦点：一个焦点(,0)，其中p的几何意义是：焦点到准线的距离；

2

③对称性：一条对称轴y 0，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）； ④准线：一条准线x ⑤离心率：e

p

； 2

c

，抛物线 e 1。 a

x2y2

5、点P(x0,y0)和椭圆2 2 1（a b 0）的关系：

ab

22

x0y0

（1）点P(x0,y0)在椭圆外 2 2 1；

ab

2222x0y0x0y0

（2）点P(x0,y0)在椭圆上 2 2＝1；（3）点P(x0,y0)在椭圆内 2 2 1

abab

6．直线与圆锥曲线的位置关系：

（1）相交： 0 直线与椭圆相交； 0 直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有 0，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故 0是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件； 0 直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有 0，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故 0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。

（2）相切： 0 直线与椭圆相切； 0 直线与双曲线相切； 0 直线与抛物线相切； （3）相离： 0 直线与椭圆相离； 0 直线与双曲线相离； 0 直线与抛物线相离。 特别提醒：

（1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点；

x2y2

（2）过双曲线2 2＝1外一点P(x0,y0)的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：

ab

①P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；

②P点在两条渐近线之间且 …… 此处隐藏：3288字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……