2008届高考数学概念方法题型易误点技巧总结（八）圆锥曲线

1.圆锥曲线的两个定义：

（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：

椭圆中，与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a，且此常数2a一定要大于F1F2，当常数等于F1F2时，轨迹是线段F1F2，当常数小于F1F2时，无轨迹；

双曲线中，与两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a，且此常数2a一定要小于|F1F2|，定义中的“绝对值”与2a＜|F1F2|不可忽视。若2a＝|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线，若2a﹥|F1F2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。

（2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率e。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。如

2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：

x2y2x acos （1）椭圆：焦点在x轴上时2 2 1（a b 0） y bsin （参数方程，其中 为参数），

aby2x2

焦点在y轴上时2 2＝1（a b 0）。方程Ax2 By2 C表示椭圆的充要条件是什么？（ABC≠0，

ab

且A，B，C同号，A≠B）。如

x2y2y2x2

（2）双曲线：焦点在x轴上：2 2 =1，焦点在y轴上：2 2＝1（a 0,b 0）。方程

abab

。如

Ax2 By2 C表示双曲线的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B异号）

（3）抛物线：开口向右时y2 2px(p 0)，开口向左时y2 2px(p 0)，开口向上时

x2 2py(p 0)，开口向下时x2 2py(p 0)。

3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）

： （1）椭圆：由x2,y2分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。如

（2）双曲线：由x2,y2项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上； （3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 特别提醒：

（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F1，F2的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数a,b，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向；

（2）在椭圆中，a最大，a2 b2 c2，在双曲线中，c最大，c2 a2 b2。

4.圆锥曲线的几何性质：

x2y2

（1）椭圆（以2 2 1（a b 0）为例）：

ab

①范围： a x a, b y b； ②焦点：两个焦点( c,0)；

③对称性：两条对称轴x 0,y 0，一个对称中心（0,0），四个顶点( a,0),(0, b)，其中长轴长为2a，短轴长为2b；

a2

④准线：两条准线x ；

c

⑤离心率：e

c

，椭圆 0 e 1，e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁。

a

x2y2

（2）双曲线（以2 2 1（a 0,b 0）为例）：

ab

①范围：x a或x a,y R； ②焦点：两个焦点( c,0)；

③对称性：两条对称轴x 0,y 0，一个对称中心（0,0），两个顶点( a,0)，其中实轴长为2a，虚轴长为2b，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为x2 y2 k,k 0；

a2

④准线：两条准线x ；

c

⑤离心率：e 越大；

c

，双曲线 e 1 e e越小，开口越小，e越大，开口a

b

x。 a

⑥两条渐近线：y

（3）抛物线（以y2 2px(p 0)为例）： ①范围：x 0,y R；

p

②焦点：一个焦点(,0)，其中p的几何意义是：焦点到准线的距离；

2

③对称性：一条对称轴y 0，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）； ④准线：一条准线x ⑤离心率：e

p

； 2

c

，抛物线 e 1。 a

x2y2

5、点P(x0,y0)和椭圆2 2 1（a b 0）的关系：

ab

22

x0y0

（1）点P(x0,y0)在椭圆外 2 2 1；

ab

2222x0y0x0y0

（2）点P(x0,y0)在椭圆上 2 2＝1；（3）点P(x0,y0)在椭圆内 2 2 1

abab

6．直线与圆锥曲线的位置关系：

（1）相交： 0 直线与椭圆相交； 0 直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有 0，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故 0是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件； 0 直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有 0，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故 0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。

（2）相切： 0 直线与椭圆相切； 0 直线与双曲线相切； 0 直线与抛物线相切； （3）相离： 0 直线与椭圆相离； 0 直线与双曲线相离； 0 直线与抛物线相离。 特别提醒：

（1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点；

x2y2

（2）过双曲线2 2＝1外一点P(x0,y0)的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：

ab

①P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；

②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；

③P在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线； ④P为原点时不存在这样的直线；

（3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。如

7、焦半径（圆锥曲线上的点P到焦点F的距离）的计算方法：利用圆锥曲线的第二定义，转化到相应准线的距离，即焦半径r ed，其中d表示P到与F所对应的准线的距离。如

8、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题：常利用第一定义和正弦、余弦定理求解。设椭圆或双曲线上的一点P(x0,y0)到两焦点F1,F2的距离分别为r1,r2，焦点 F1PF2的面积为S，则

x2y22b2

在椭圆2 2 1中， ① ＝ 1)，且当r1 r2即P为短轴端点时， 最大为

abr1r2

max

＝

b2 c22

S btan c|y0|，当|y0| b即P为短轴端点时，Smax的最大值为bc； ；②

2a2

2b2x2y2

对于双曲线2 2 1的焦点三角形有：① arccos 1 rrab12

1 2

S rrsin bcot；②。 12 22

9、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质： （1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；

（2）设AB为焦点弦， M为准线与x轴的交点，则∠AMF＝∠BMF；

（3）设AB为焦点弦，A、B在准线上的射影分别为A1，B1，若P为A1B1的中点，则PA⊥PB； （4）若AO的延长线交准线于C，则BC平行于x轴，反之，若过B点平行于x轴的直线交准线于C点，则A，O，C三点共线。

10、弦长公式：若直线y kx b与圆锥曲线相交于两点A、B，且x1,x2分别为A、B的横坐标，则AB1 x2，若y1,y2分别为A、B的纵坐标，则AB＝

1

y1 y2，若弦AB所在2k

直线方程设为x ky b，则AB1 y2。特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。

11、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。

b2x0x2y2

在椭圆2 2 1中，以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=－2；

abay0b2x0x2y2

在双曲线2 2 1中，以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=2；

abay0在抛物线y2 2px(p 0)中，以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=

p

。

y0

特别提醒：因为 0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验 0！

12．你了解下列结论吗？

2222

yyxx（1）双曲线2 2 1的渐近线方程为2 2 0； abab

2222byyxx（2）以y x为渐近线（即与双曲线2 2 1共渐近线）的双曲线方程为2 2 ( 为参aabab

数， ≠0）。

（3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为mx2 ny2 1；

2b2

（4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为，焦准距（焦点到相应准线的

ab2

距离）为，抛物线的通径为2p，焦准距为p；

c

（5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦；

（6）若抛物线y2 2px(p 0)的焦点弦为AB，A(x1,y1),B(x2,y2)，则①|AB| x1 x2 p；

p2

,y1y2 p2 ②x1x2 4

（7）若OA、OB是过抛物线y2 2px(p 0)顶点O的两条互相垂直的弦，则直线AB恒经过定点

(2p,0)

13．动点轨迹方程：

（1）求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围； （2）求轨迹方程的常用方法：

①直接法：直接利用条件建立x,y之间的关系F(x,y) 0；

②待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。

③定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；如

④代入转移法：动点P(x,y)依赖于另一动点Q(x0,y0)的变化而变化，并且Q(x0,y0)又在某已知曲线上，则可先用x,y的代数式表示x0,y0，再将x0,y0代入已知曲线得要求的轨迹方程；如

⑤参数法：当动点P(x,y)坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x,y均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程）。

注意：①如果问题中涉及到平面向量知识，那么应从已知向量的特点出发，考虑选择向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化，还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴子”转化。如

②曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响.

③在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于“平面几何性质”数形结合(如角平分线的双重身份――对称性、利用到角公式)、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等.

④如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点”，那么可选择应用“斜率或向量”为桥梁转化. 14、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：

（1） 给出直线的方向向量u 1,k 或u m,n ；

（2）给出 与AB相交,等于已知 过AB的中点;

（3）给出 0,等于已知P是MN的中点;

（4）给出AP AQ BP BQ,等于已知P,Q与AB的中点三点共线;

（5） 给出以下情形之一：①//；②存在实数 ,使 ；③若存在实数

, ,且 1,使OC OA OB,等于已知A,B,C三点共线.

（6） 给出

，等于已知P是AB的定比分点， 为定比，即

1

（7） 给出MA MB 0,等于已知MA MB,即 AMB是直角,给出MA MB m 0,等于已知

AMB是钝角, 给出MA MB m 0,等于已知 AMB是锐角,

（8）

给出 MP,等于已知MP是 AMB的平分线/

（9）在平行四边形ABCD中，给出(AB AD) (AB AD) 0，等于已知ABCD是菱形;

（10） 在平行四边形ABCD中，给出|AB AD| |AB AD|，等于已知ABCD是矩形;

（11）在 ABC中，给出 ，等于已知O是 ABC的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；

（12） 在 ABC中，给出 ，等于已知O是 ABC的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；

（13）在 ABC中，给出 ，等于已知O是 ABC的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；

2

2

2

ABAC )( R )等于已知通过 ABC的内心； （14）在 ABC中，给出 (|AB||AC|（15）在 ABC中，给出a b c 等于已知O是 ABC的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；

1

（16） 在 ABC中，给出AD AB AC,等于已知AD是 ABC中BC边的中线;

2