第三章

矩阵习题课

一. 主要内容1. 矩阵的定义

由m n个数 aij ( i 1,2, , m; j 1,2, , n)排成的m行n列的数表，简称m n矩阵. a11 a12 a1 n a21 a22 a2 n 记作 A a am 2 amn m1

简记为 A aij

或 Am n m n

一些特殊的矩阵： 零矩阵、行矩阵、列矩阵、方阵、对角阵、数量阵、单位阵

2. 矩阵的基本运算同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等

矩阵相等: 两个矩阵同型，且对应元素相等矩阵加(减)法：两个同型矩阵，对应元素相加(减) 加法满足

1 交换律：A B B A. 2 结合律： A B C A B C . 3 A 0 A, 其中A与O是同型矩阵. 4 A A O .

数与矩阵相乘： 与矩阵 A 的乘积记作 A 或 A ,规定为 数 数乘满足

A A ( aij ) ( ) A ( A); ( ) A A A; ( A B ) A B .

设 矩阵与矩阵相乘： A (a ij )m s , B (bij )s n, 规定 AB C (c ij )m n, 其中 c ij a i 1b1 j a i 2b 2 j a is b sj

ak 1

s

ik

b kj

( i 1,2, , m; j 1,2, n)

乘法满足 ( AB )C A( BC );

( AB ) ( A) B A( B ), (其中 为数);A( B C ) AB AC , ( B C ) A BA CA;

E m Am n Am n Am n E n .矩阵乘法不满足：交换律、消去律

A 方阵的幂： A是n 阶方阵， A A A k k个

并且

Am Ak Am k k m mk A A (m,k为正整数)

方阵的多项式：

f ( x ) ak x k ak 1 x k 1 a1 x a0

f ( A) ak Ak ak 1 Ak 1 a1 A a0 E方阵的行列式：

满足:

1 AT A;

2 A n A;

3 AB A B

一些特殊的矩阵: 转置矩阵: 把矩阵 A 的行换成同序数的列得到的 新矩阵，叫做 A 的转置矩阵，记作 A . 满足： 1 AT

T

A;T T T T

2 A B A B ; 3 A A ; 4 AB B A .T T T T

对称矩阵和反对称矩阵：

A是对称矩阵 A是反对称矩阵

2

AT A A AT

幂等矩阵： A 为n阶方阵，且 A A

伴随矩阵：行列式 A 的各个元素的代数余子式 构成的如下矩阵

Aij 所

A11 A12 A A 1n

A21 A22 A2 n

An1 An 2 Ann

AA A A A E .

3. 逆矩阵定义：A为n阶方阵，若存在n阶方阵,使得 AB BA E

则称矩阵A是可逆的(非奇异的、非退化的、满秩的)矩阵B称为矩阵A的逆矩阵。 唯一性： 若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的.

1 判定定理: n阶方阵A可逆

A 0 且 A A A 推论： 设A、B为同阶方阵，若 AB E , 1

则A、B都可逆，且 A 1 B,B 1 A

满足规律： ( A ) A, 1

1

( A) 1

1

A ( 0) 1 1

(A ) (A ) , 1T

T 1

A

1

A

逆矩阵求法： (1)待定系数法 (2)伴随矩阵法 (3)初等变换法

*4. 分块矩阵分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似.

5.初等变换对换变换、倍乘变换、倍加变换 三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的 初等变换. 初 等 变 换 逆 变 换

r i r j (c i c j )

r i r j (c i c j )1 1 r i (c i ) k k r i ( k ) r j (c i ( k ) c j )

r i k (c i k )r i k r j (c i k c j )

如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B, 矩阵的等价： 就称矩阵A与矩阵B等价。记作 A B

6. 初等矩阵初等矩阵： 由单位矩阵E经过一次初等变换得到的方阵 称为初等矩阵. 三种初等变换对应着三种初等方阵： 初等对换矩阵、初等倍乘矩阵、初等倍加矩阵 初等矩阵是可逆的，逆矩阵仍为初等矩阵。

E (i , j ) 1 E (i , j ) 1 1 E ( i ( k )) E ( i ( )) k 1 E (ij(k )) E (ij( k ))

7. 初等矩阵与初等变换的关系：初等变换初等矩阵

初等逆变换

初等逆矩阵

定理：设A是m n矩 阵 ， 对 施 行 一 次 初 等 行 变 换 ， A相 当 于 在 的 左 边 乘 一 个 相 应 的阶 初 等 矩 阵 ； A m 对A施 行 一 次 初 等 列 变 换 相 当 于 在 的 右 边 ， A 乘 一 个 相 应 的阶 初 等 矩 阵 。 n

8. 用初等变换法求矩阵的逆矩阵定理： 可逆矩阵可以经过若干次初等行变换化为单位矩阵. 推论1: 可逆矩阵可以表示为若干个初等矩阵的乘积 推论2:如果对可逆矩阵 A 和同阶单位矩阵 E 作同样的初等 行变换，那么当 A 变成单位矩阵 E 时，E 就变成 A 1。

要求可逆矩阵A的逆矩阵, 只需对分块矩阵 ( A E )施行初等行变换 当把A变成E时, 原来的E就 , 变成了 A 1 . A 或者对分块矩阵 施行初等列变换 当把A , E 变成E时, 原来的E就变成了A 1 .

即， A, E 初等行变换 E,A 1

A 初等列变换 E 1 E A

9. 解矩阵方程的初等变换法

(1)AX B初等行变换

( A B)

~

( E A 1 B ) X A 1 B

(2)XA B A B 或者(A B )T T

初等列变换

~

1 E X BA 1 BA

初等行变换

~

X ( A ) BT (E ( A ) B )T 1

T

T

T

1

X B A 1